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EXERCICE 2. LES ONDES GRAVITATIONNELLES (6 points) 1. Les ondes gravitationnelles détectées 100 après la prédiction d'Einstein 1.1. Les trous noirs ont fusionné il y a 1,3 milliard d'années, générant la
« bouffée » d'ondes qui a été observée. Les ondes gravitationnelles se
propagent à la célérité de la lumière. Ainsi la source détectée est située
à 1,3 milliard d'années-lumière. 1.2.a. Déterminons la durée ?t du parcours de d = 3000 km entre Livingston
et Hanford des ondes suivant la direction 2.
[pic] donc ?t = [pic]
?t = [pic] = 1,00×10-2 s = 10×10-3 s = 10 ms.
Cette durée est supérieure à l'écart mesuré expérimentalement. Les ondes ne
peuvent pas provenir de la direction 2. 1.2.b. La durée du parcours étant plus courte en réalité, c'est que la
distance parcourue est plus petite que 3000 km. On peut calculer cette
distance d'.
d' = c . ?t'
d' = 3,00×108×7×10-3 = 2,1×106 m = 2,1×103 km
à l'échelle du schéma 1000 km ( 2,0 cm
2,1×103 km ( L cm
Seule la direction 1, est
en accord avec nos calculs. L'écart de 0,2 cm est dû à
une imprécision concernant
la mesure de L et à un
manque de précision sur la
valeur de la durée (7ms)
donnée avec un seul chiffre
significatif. 2. Fusion des deux trous noirs
2.1. [pic]
2.2. On applique la deuxième loi de Newton au système {trou noir A} dans un
référentiel lié au centre de gravité des deux trous noirs et considéré
galiléen.
Le système n'est soumis qu'à la force d'attraction gravitationnelle exercée
par l'autre trou noir : [pic]
On définit un vecteur unitaire [pic] normal à la trajectoire et centripète.
[pic]
[pic]
[pic]
Par ailleurs, par définition du mouvement circulaire et uniforme, on a
[pic].
Ainsi [pic],
[pic]
[pic]
[pic]. 2.3. Le trou noir parcourt sa trajectoire (le périmètre du cercle de rayon
r) en une durée égale à sa période T, et ceci à la vitesse v.
[pic] En égalisant les deux relations [pic],
On élève au carré [pic]
[pic]
[pic]
[pic] expression (1) 2.4. La période des ondes gravitationnelles TOG est égale à la demi-période
de révolution des trous noirs T : TOG = [pic] ou T = 2.TOG.
On remplace T par cette expression dans l'expression (1) précédente.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
fOG = [pic]
fOG = [pic]
Lorsque les trous noirs se rapprochent alors r diminue, donc la fréquence
des ondes gravitationnelles augmente. 2.5. On peut calculer le rayon de la trajectoire avec l'expression (1)
[pic]
[pic] = [pic]
[pic]
[pic]
r = 1,7×105 m valeur stockée en mémoire A
On peut alors calculer la vitesse du trou noir : [pic]
[pic]
[pic]
v = 7,8×107 m.s-1 [pic] = 3,9 ? 4
Avec la mécanique newtonienne, on retrouve effectivement la prévision des
théoriciens qui tiennent compte de la relativité générale : « la vitesse
d'un trou noir est voisine de celle du quart de celle de la lumière ».
Compétences exigibles ou attendues : En noir : officiel (Au B.O.)
En italique : officieux (au regard des sujets de bac depuis 2013) o Connaître la définition de l'année de lumière et son intérêt (2nde)
o Connaître et exploiter la relation entre retard, distance et vitesse de
propagation (célérité).
o Connaitre l'expression de la force d'interaction gravitationnelle
(2nde).
o Définir le système étudié et savoir choisir un référentiel d'étude
adapté au mouvement étudié.
o Savoir représenter les forces appliquées à un système sans souci
d'échelle mais en accord avec les lois de Newton.
o Définir et reconnaître des mouvements (circulaire uniforme ici) et
donner les caractéristiques du vecteur accélération.
o En utilisant la 2ème loi de Newton, démontrer que dans l'approximation
des trajectoires circulaires, le mouvement d'un satellite, d'une
planète, est uniforme. Établir l'expression de sa vitesse et de sa
période.
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[pic] 4,4 cm 5,3 cm A B [pic]