Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2019 - Apmep

Durée : 4 heures
?Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2019?
Exercice I6 points
Commun à tous les candidats
La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d"évolution de la température d"un corps est
proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant.
Une tasse de café est servie à une température initiale de 80 °C dans un milieu dont la température,
exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notéeM.
Le but de cet exercice est d"étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant
deux modèles. L"un, dans la partie A, utilise une suite; l"autre, dans la partie B, utilise une fonction.
Les partiesAetBsont indépendantes.
PartieA
Dans cette partie, pour tout entier natureln, on noteTnla température du café à l"instantn, avecTn
exprimé en degré Celsius etnen minute. On a ainsiT0=80.
On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutivesquelconquesnetn+1 par l"égalité :
T
n+1-Tn=k(Tn-M)
oùkest une constante réelle.
Dans la suite de la partie A, on choisitM=10 etk=-0,2.
Ainsi, pour tout entier natureln, on a :Tn+1-Tn=-0,2(Tn-10).
1.Le café est chaud au départ, dans une pièce dont la température est fraiche; le café va refroidir
et sa température va aller vers celle de la pièce, donc la suite est décroissante.
2.Pour toutn,Tn+1-Tn=-0,2(Tn-10)??Tn+1=
Tn-0,2(Tn-10)=0,8Tn+2.
3.On pose, pour tout entier natureln:un=Tn-10.
a.Pour toutn,un+1=Tn+1-10=0,8Tn+2-10=0,8Tn-8=0,8(Tn-10)=0,8undonc
un+1=0,8un.
Lasuite
(un)estgéométrique,deraisonq=0,8etdepremiertermeu0=T0-10=80-10=
70.
b.Onendéduitque,pour toutn,un=u0qn=70×0,8ndonc,commeun=Tn-10??Tn=
u
n+10, on a donc
Tn=70×0,8n+10.
c.-1
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