Devoir N° 11 : Suites TS 2 - Ecole sur le Web

Devoir N° 11 : Suites TS
2.
Exercice n°1 :
Soit [pic] la fonction définie sur R par : [pic]
1. Démontrer, par récurrence sur [pic], que : [pic][pic] [pic]
2. On note [pic] la courbe représentative de la fonction [pic] dans un
repère orthonormé du plan.
a) Démontrer que pour tout entier naturel [pic] non nul, [pic]admet
une tangente horizontal en un point [pic] dont on calculera les
coordonnées [pic].
b) Démontrer que [pic] est une suite arithmétique et étudier sa
limite.
c) Démontrer que [pic] est une suite géométrique et étudier sa
limite. Exercice n°2 :
Dans les annales, n°45 p158. Exercice n°3 :
On se propose d'approcher [pic] à l'aide d'une
suite de nombres rationnels définie par un
algorithme géométrique.
On considère le rectangle [pic] tel que :
[pic]et [pic] On le note [pic].
On construit alors à l'extérieur de [pic] le carré
[pic] , puis le carré [pic]. Le
rectangle[pic] est noté [pic].
De la même manière, à partir du rectangle [pic],
On construit les carrés [pic] et [pic] .
Le rectangle [pic] est noté[pic]. Et ainsi de
suite.
Pour tout entier naturel [pic], on note [pic] et [pic] la
longueur et la largeur du rectangle [pic]. Le
quotient [pic] est alors appelé format du
rectangle [pic]. A/ Relation de récurrence :
1. Déterminer les six premiers termes de la suite [pic] et en donner une
valeur approchée à [pic]près. Comparer ces nombre à [pic]
2. Exprimer les dimensions du rectangle [pic] en fonctions de celles du
rectangle[pic].
En déduire que pour tout entier naturel [pic] .
B/ Etude de la suite [pic] :
On considère la fonction [pic] définie sur l'intervalle [ 1 ;2 ] par :
[pic] et sa courbe respective [pic] dans le plan rapporté à un repère
orthonormé (unité graphique 10 cm).
1. a) Etudier les variations de [pic] et tracer sa courbe[pic].
b) Vérifier que pour tout réel [pic], on a : [pic]. En déduire que
pour tout entier naturel [pic], on a : [pic].
c) Utiliser la courbe [pic] et la droite [pic] d'équation [pic] pour
représenter les premiers termes de la suite [pic] sur l'axe des
abscisses. Quelles conjectures ce graphique permet-il de faire ?
2. a) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de [pic] et
de [pic].
b) Démontrer que pour tout réel [pic] différent de [pic], on a
[pic].
En déduire que pour entier naturel [pic], on a : [pic]. Que peut-on
alors dire des termes successifs de la suite [pic] par rapport
à [pic] ?
3. a) Vérifier que pour réel [pic], on a : [pic]
Démontrer alors que [pic].
b) En déduire que pour tout entier naturel [pic], on a : [pic], puis
que : [pic].
c) Déterminer alors la limite de la suite[pic].
CORRIGE DU DM N°11 :
Exercice n°1 :
1. Soit [pic]la propriété définie pour [pic] par :
[pic], [pic]
Initialisation :
Pour [pic] [pic]
[pic]
et [pic]
Donc [pic] est vraie.
Hérédité :
Soit [pic],
Si [pic] est vraie alors [pic]
Alors [pic]
[pic]
Alors [pic]
Alors [pic] est vraie.
Donc [pic] [pic] vraie [pic] vraie.
Conclusion :
[pic]est vraie au rang 1 et elle est héréditaire à partir du rang 1,
donc elle est vraie pour tout [pic].
Donc [pic].
2. a) [pic] [pic] admet une tangente horizontale au point [pic] si et
seulement si [pic].
Or [pic].
[pic] car [pic].
[pic].
Et pour [pic] [pic].
Donc : [pic] admet une tangente horizontale au point [pic] de
coordonnées [pic] avec [pic] et [pic].
b) [pic] [pic].
Donc [pic] est une suite arithmétique de raison [pic] et [pic].
c) [pic] [pic].
Donc : [pic] est une suite géométrique de raison [pic].
Comme [pic] alors [pic].
Exercice n°2 :
1. [pic] [pic].
Donc [pic].
[pic] donc par somme [pic].
2. a) Soient [pic] les trois fonctions proposées dans cet ordre. Elles
sont dérivables sur [pic] comme somme de fils dérivables sur [pic].
[pic] donc [pic].
[pic] est donc croissante sur [pic]. Or [pic],
Donc [pic] [pic].
[pic].
Donc [pic] [pic].
g est donc croissante sur [pic] et comme [pic] alors :
[pic] [pic].
[pic]
Donc [pic] [pic].
[pic] est donc croissante sur [pic] et comme [pic] alors :
[pic] [pic].
b) [pic] [pic]
Donc [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
En additionnant ces [pic] inégalités membre à membre, on obtient que
[pic].
D'où [pic].
D'après le a) [pic] [pic].
Donc [pic] [pic]
Soit [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
En additionnant ces [pic] inégalités membre à membre, on obtient alors
que :
[pic]
Donc [pic] (1)
Or [pic]
Donc [pic].
Donc [pic]
D'où [pic] (2)
De (1) et de (2) on peut donc conclure que :
[pic]
c) [pic] Donc d'après le théorème des gendarmes : [pic]
Donc [pic] converge vers [pic].
Exercice n°3 :
A/ 1) [pic] et [pic] donc [pic]
[pic] et [pic], donc [pic].
[pic] et [pic], donc [pic].
[pic] et [pic], donc [pic].
[pic] et [pic], donc [pic].
[pic] et [pic], donc [pic].
[pic] 2) [pic] [pic]
Alors [pic], [pic]
[pic]
Donc, [pic], [pic]. B/ 1) a) La fonction [pic] est strictement croissante sur [ 1 ;2 ].
Donc [pic] est strictement décroissante sur [ 1 ;2 ] et par
conséquence : [pic] est strictement décroissante sur [ 1 ;2 ].
b) [pic] est strictement décroissante sur [ 1 ;2 ] , [pic] et
[pic]
Donc [pic] [pic].
Donc [pic] [pic]. Soit [pic]la propriété définie sur [pic] par : [pic] .
Démontrons par récurrence que [pic] est vraie sur [pic] :
- Initialisation :
Pour [pic] [pic] donc [pic].
Donc [pic] est vraie.
- Hérédité :
Soit [pic].
Si [pic] est vraie, alors [pic].
Alors d'après ce qui précède [pic].
Or [pic] donc, [pic].
Ce qui traduit que [pic] est vraie.
Donc [pic], [pic] vraie [pic] vraie.
- Conclusion :
[pic]est vraie au rang 0 et elle est héréditaire à partir du
rang 0, donc [pic]est vraie pour tout [pic].
D'où [pic], [pic]
c) D'après le graphique, conjecturer que :
- la suite des termes impairs de [pic] est croissante.
- la suite des termes pairs de [pic] est décroissante.
- la suite [pic] converge vers l'abscisse du point
d'intersection de [pic] avec [pic]. 2) a) [pic] (1)
Or (1)[pic]
[pic] car [pic].
[pic].
Mais [pic] donc [pic].
Alors [pic].
Donc [pic] et [pic] se coupent en un seul point sur [pic]. C'est
le point [pic].
b) [pic]est décroissante strictement sur [pic] et [pic] donc quel
que soit [pic] appartenant à [pic] privé de [pic],
[pic] et [pic] sont rangés dans l'ordre contraire de leurs
images.
Donc [pic] et [pic] sont de signes contraires.
Donc [pic]
Soit [pic] quelconque
On a prouvé dans le 1) a) que [pic]
Donc d'après ce qui précède : [pic].
Or [pic] et [pic]
Donc [pic] [pic].
On en déduit que [pic] sera alternativement plus petit que [pic]
et plus grand que [pic].
Comme [pic] et que [pic] on peut préciser que :
- Les termes de rang pair sont plus grand que [pic].
- Les termes de rang impair sont plus petits que [pic].
3) a) [pic] [pic]
[pic]
Donc : [pic] , [pic].
Alors : [pic], [pic].
Or [pic] donc [pic] donc [pic]
De plus [pic] donc [pic].
Alors [pic] et [pic] donc [pic] .
Donc [pic], [pic].
b) [pic] [pic] donc d'après le a) [pic]
Donc [pic] [pic].
L'inégalité précédente traduit que la distance entre [pic]
et [pic] est divisée par [pic] à chaque rang.
Soit [pic]la propriété définie pour [pic] par :
[pic] [pic]
Démontrons cette propriété par récurrence :
Pour [pic] [pic] et [pic].
Donc [pic] est vraie.
Soit [pic] quelconque.
Si [pic] est vraie alors [pic]
Or d'après la question précédente : [pic]
Donc : [pic].
D'où : [pic]
Alors [pic] est vraie.
Donc [pic] [pic] vraie [pic] vraie.
[pic]est vraie au rang 0 et est héréditaire à partir du rang 0
donc est vraie pour tout [pic].
Donc [pic] [pic].
c) D'après le b), on a :
[pic] [pic]
Or [pic] car il s'agit d'une suite géométrique de raison
[pic] et que [pic].
De même : [pic]
Donc d'après le théorème des gendarmes, [pic]
D'où [pic].
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[pic] [pic]