I) Mouvement d'un système dans un champ de pesanteur uniforme

|COMPRENDRE |Chapitre 6: application de lois de Newton et de Kepler |
|Lois et modèles | | Animation
1. trajectoire parabolique (Walter Fendt)
2. l'animation représentant la trajectoire d'une particule chargée dans un
champ électrostatique (université de Nantes),
3. logiciel solstice (visualisation de mouvement de satellite)
4. relativité du mouvement /gravitation (Gastebois)
5. ellipse (université de Nantes)
6. loi des aires (université de Nantes) Table des matières I) Mouvement d'un système dans un champ de pesanteur uniforme
1) Observation du mouvement d'un objet dans un champ de pesanteur
uniforme:
2) étude mécanique
3) Détermination des équations horaires du mouvement
4) trajectoire du point II) mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique
uniforme
1) observation du mouvement
2) étude mécanique
3) Détermination des équations horaires du mouvement III) mouvement des satellites et des planètes
1) observation des mouvements des satellites et planètes
2) étude mécanique avec la seconde loi de Newton
3) Les lois de Kepler Programme officiel
I) Mouvement d'un système dans un champ de pesanteur uniforme
1) Observation du mouvement d'un objet dans un champ de pesanteur
uniforme: Un champ de pesanteur est uniforme si en chaque point de l'espace le
vecteur champ de pesanteur[pic] est constant. C'est le cas dans un cube
d'environ 1 km d'arrête au voisinage de la Terre. Utiliser l'Animation: trajectoire parabolique (Walter Fendt), et regarder
l'évolution des différents paramètres (position, vitesse etc.)
[pic]
On lance un projectile dans l'air avec une vitesse initiale vo faisant un
angle quelconque avec l'horizontale. Le mouvement du point G. centre
d'inertie du solide s'effectue dans le plan vertical. Sa trajectoire est
parabolique. Si on décompose le mouvement du projectile suivant l'axe
vertical et horizontal on observe
-sur la verticale un mouvement uniformément accéléré tel que ay = -g.
- sur l'axe horizontal le mouvement est rectiligne uniforme. Son
accélération ax = 0.
2) étude mécanique Pour étudier le mouvement d'un objet il faut effectuer son étude mécanique.
Elle se fait en 5 étapes:
1) définir le système : le solide de masse 'm'
2) définir le référentiel : la Terre supposée référentiel galiléen.
3) définir le repère (cartésien orthonormé dans ce cas) lié au référentiel:
[pic]
4) rechercher la somme des forces extérieures agissant sur le projectile
de masse m en chute parabolique :
[pic]
[pic]: vecteur poids de l'objet
[pic]: poussée d'Archimède
[pic]: force de frottement fluide (cas du frottement fluide)
La poussée d'Archimède peut-être négligé car le poids du volume d'air
déplacé est négligeable devant le poids de l'objet. De plus pour de faible
distance parcourue et des vitesses de déplacement faibles, on pourra
négliger les forces de frottement de l'air sur le projectile.
Par conséquent la somme des forces extérieures agissant sur le solide de
masse 'm' en mouvement dans l'air se réduit essentiellement à son poids :
[pic]
5) dans le référentiel galiléen la seconde loi de Newton ou principe
fondamental de la dynamique s'écrit:
[pic]
La masse ne variant pas au cours du mouvement on peut la sortir de la
dérivée:
[pic]
Le vecteur accélération est constant, le mouvement est uniformément
accéléré. 3) Détermination des équations horaires du mouvement A l'aide de l'étude mécanique et des conditions initiales, on peut
déterminer les équations horaires du mouvement: ax(t), ay(t), vx(t), vy(t),
x(t) et y(t).
Conditions initiales, à t = 0 les vecteurs positions et vitesses ont pour
coordonnées:
[pic]
[pic]est l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'axe
horizontal. Détermination des équations horaires des coordonnées du vecteur
accélération.
[pic]
On retrouve l'accélération nulle sur l'axe des x et une accélération
constante sur l'axe des y.
Détermination des équations horaires des coordonnées du vecteur vitesse.
[pic] ax est la dérivée de vx par rapport au temps, vx est la primitive de ax par
rapport au temps. Idem pour ay et vy. [pic]
les constantes C1 et C2 sont déterminées avec les conditions initiales:
[pic]
Les coordonnées du vecteur vitesse sont:
[pic]
Détermination des équations horaires des coordonnées du vecteur position.
[pic] vx est la dérivée de x par rapport au temps, x est la primitive de vx par
rapport au temps. Idem pour vy et y. [pic]
les constantes C3 et C4 sont déterminées avec les conditions initiales:
[pic]
Les coordonnées du vecteur position sont:
[pic] 4) trajectoire du point
L'équation de la trajectoire est la relation qui lie l'ordonnée à
l'abscisse du point M: y = f(x). Pour la déterminer on utilise les
équations horaires de la trajectoire, x(t) et y(t). On exprime l'instant t
en fonction de x dans la première équation et on réinjecte sa valeur dans
la seconde. [pic]
L'équation de la trajectoire est:
[pic]
L'équation de la trajectoire est un polynôme de degré 2 (a.x2 + b.x + c).
La trajectoire est une parabole qui confirme les observations faites au 1) II) mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique
uniforme
1) observation du mouvement [pic]
Une particule de masse M, supposée ponctuelle, de charge électrique q et de
masse m, est placée dans un champ électrostatique uniforme[pic]. En TS
tous les mouvements seront plans et étudiés dans le plan de la trajectoire.
Cliquer sur l'animation représentant la trajectoire d'une particule chargée
dans un champ électrostatique (université de Nantes), régler les paramètres
figurant sur la figure ci dessus et observer la trajectoire. Conclusion.
Lorsque le champ électrique est dans le même plan P que le vecteur vitesse
initiale, la trajectoire de la particule chargée est parabolique. Elle se
situe dans le plan P. 2) étude mécanique 1) le système : la particule de masse m et de charge q
2) le référentiel : la Terre supposée référentiel galiléen.
3) le repère (cartésien orthonormé dans ce cas) lié au référentiel: [pic]
4) la somme des forces extérieures agissant sur la particule:
[pic]
[pic]
[pic]: vecteur poids de l'objet
[pic]: poussée d'Archimède
[pic]: force de frottement fluide (cas du frottement fluide)
La poussée d'Archimède, le poids et les forces de frottement sont
négligeables devant la force électrostatique. Par conséquent la somme des
forces extérieures agissant sur le solide de charge électrique q se réduit
essentiellement à la force électrostatique :
[pic]
5) dans le référentiel galiléen la seconde loi de Newton ou principe
fondamental de la dynamique s'écrit:
[pic]
La masse ne variant pas au cours du mouvement on peut la sortir de la
dérivée:
[pic]
Le vecteur accélération est constant, le mouvement est uniformément
accéléré.
[pic] 3) Détermination des équations horaires du mouvement Conditions initiales, à t = 0 les vecteurs positions et vitesses ont pour
coordonnées:
[pic] [pic]est l'angle que fait le vecteur vitesse initiale avec l'axe
horizontal.
[pic]
Détermination des équations horaires des coordonnées du vecteur
accélération.
[pic]
Remarque:
- la cordonnée de l'accélération sur l'axe des y, ay est positive si
q > 0 et négative si q < 0.
- le mouvement sur l'axe des x est rectiligne uniforme, sur l'axe des
y il est uniformément accéléré.
Détermination des équations horaires des coordonnées du vecteur vitesse.
[pic] ax est la dérivée de vx par rapport au temps, vx est la primitive de ax par
rapport au temps. Idem pour ay et vy. [pic]
les constantes C1 et C2 sont déterminées avec les conditions initiales:
[pic]
Les coordonnées du vecteur vitesse sont:
[pic]
Détermination des équations horaires des coordonnées du vecteur position.
[pic] vx est la dérivée de x par rapport au temps, x est la primitive de vx par
rapport au temps. Idem pour vy et y. [pic]
les constantes C3 et C4 sont déterminées avec les conditions initiales:
[pic]
Les coordonnées du vecteur position sont:
[pic] III) mouvement des satellites et des planètes
1) observation des mouvements des satellites et planètes Lancer le logiciel de Mr Passebon puis observer le mouvement d'un satellite
quelconque puis un satellite géostationnaire (pour cela régler les
paramètres suivant: inclinaison 0°, altitude h = 35764 km).Décrire leur
mouvement dans le référentiel géocentrique puis terrestre.
[pic] Conclusion: dans le référentiel terrestre le satellite géostationnaire est
immobile, dans le référentiel géocentrique son mouvement est circulaire
uniforme. Un satellite qui n'est pas géostationnaire à un mouvement
curviligne quelconque dans le référentiel terrestre et un mouvement
considéré circulaire (en faite elliptique) dans le référentiel
géocentrique. Cliquer sur l'animation suivante mouvement des satellites et planètes
(Gastebois) et décrire le mouvement des planètes telluriques dans le
référentiel héliocentrique.
Conclusion: le mouvement des planètes dans le référentiel héliocentrique
est circulaire uniforme (en fait la trajectoire est légèrement elliptique).
[pic]
2) étude mécanique avec la seconde loi de Newton On va vérifier qu'un satellite qui est en orbite circulaire autour de la
Terre à une vitesse constante. Son mouvement est alors circulaire uniforme
Étude mécanique :
- Système : le satellite de masse m, et de centre d'inertie S.
- référentiel : géocentrique supposé galiléen.
-Repère : repère de Frénet (à noter que l'origine S du repère est
confondue avec le centre d'inertie du satellite :
[pic]
[pic]
- la somme des forces extérieures se réduit à la force d'attraction
gravitationnelle de la Terre sur le satellite (les autres forces de
gravitation des autres astres sont négligeables, ainsi que les forces
s'exerçant par l'atmosphère terrestre):
[pic]
[pic]
Avec R = ST distance entre les centres d'inertie de la Terre et du
satellite. R = h+RT avec h altitude du satellite et RT rayon de la T