TD O1 : Les bases de l'optique - PCSI-PSI AUX ULIS

TD M6 : Moment cinétique d'un point matériel
But du chapitre Comprendre pourquoi il est plus facile d'utiliser une grande croix qu'une
petite manivelle pour monter une roue de secours.
Utiliser le théorème du moment cinétique pour obtenir plus efficacement
l'équation du mouvement d'un point matériel.
Plan prévisionnel du chapitre I - Moment d'une force
1°) Moment d'une force par rapport à un point O
2°) Moment d'une force par rapport à un axe ?
II - Moment cinétique d'un point matériel dans le référentiel R
1°) Moment cinétique par rapport à un point O
2°) Moment cinétique par rapport à un axe
III - Théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen
1°) Théorème du moment cinétique en un point fixe
2°) Théorème du moment cinétique en projection sur un axe fixe
3°) Conservation du moment cinétique dans le cas d'un mouvement à force
centrale
4°) Quand utiliser le théorème du moment cinétique ?
5°) Application : le pendule simple
Savoirs et savoir-faire Ce qu'il faut savoir :
. Produit vectoriel : connaitre ses caractéristiques et ses propriétés.
. Moment d'une force par rapport à un point : donner la formule du
moment d'une force par rapport à un point, le représenter.
. Moment d'une force par rapport à un axe : donner la formule du moment
d'une force par rapport à un axe, déterminer le sens de rotation en
fonction de son signe
. Moment cinétique : donner la formule du moment cinétique, ainsi que
ses propriétés.
. Théorème du moment cinétique : énoncer le théorème du moment
cinétique, par rapport à un point et par rapport à un axe.
Ce qu'il faut savoir faire :
. Démontrer la formule du moment d'une force par rapport à un autre
point.
. Démontrer le théorème du moment cinétique.
. Pendule simple : établir l'équation différentielle du mouvement en
appliquant le théorème du moment cinétique. Erreurs à éviter/ conseils : . Il ne faut pas évoquer le théorème du moment cinétique sans préciser
le point si il est vectoriel ou l'axe si il est scalaire.
. Le moment d'une force s'appliquant en M par rapport à l'axe ? est une
grandeur scalaire mais algébrique ; il est positif si la force tend à
entrainer M autour de ? dans un sens positif certes arbitraire mais
clairement indiqué sur la figure ; il est négatif dans le cas
contraire. Rappel sur le produit vectoriel : [pic]
Applications du cours Application 1 : Moment d'une force par rapport à un point et par rapport à
un axe
Soit un point matériel M, de masse m, repéré par ses coordonnées
cartésiennes x, y, z, et soumis à l'action d'un champ de pesanteur
uniforme[pic]. Déterminer le moment du poids par rapport à l'origine O.
Quel est le moment du poids par rapport à l'axe Oz ? Application 2 : Pendule simple
Soit un pendule simple constitué d'un fil de masse négligeable de longueur
L au bout duquel est suspendue un point matériel A de masse m, l'autre
extrémité étant accrochée à un point fixe O. Ce pendule est en mouvement
dans un plan vertical. Exprimer le moment des forces appliquées au point A,
par rapport à O, lorsque le pendule fait un angle ? par rapport à la
verticale.
[pic] Application 3 : Perle sur un rail demi-circulaire
Un point matériel M (masse m), assimilé à une perle quasi-ponctuelle, est
susceptible de coulisser sans frottement de type solide le long d'un rail
demi-circulaire de centre O et de rayon r, sans pouvoir le quitter.
Le point M est repéré par l'angle ? = [pic], tel que [pic]. Le référentiel
R de repère (O ; [pic]) est supposé galiléen.
Le point M subit l'action d'une force de frottement fluide [pic]
(coefficient positif ?).
[pic]
Exprimer les moments par rapport à O des forces appliquées à M. Application 4 : Moment d'une force par rapport à un point et par rapport à
un axe
On considère une force [pic] appliquée à un point M quelconque.
Exprimer le moment de la force [pic] par rapport à O et par rapport à l'axe
(Oz). Application 5 : Moment cinétique d'un point M par rapport à un point ou par
rapport à un axe en coordonnées cartésiennes
1°) Le point matériel M de masse m est astreint à se déplacer dans le plan
(Oxy). Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à O en fonction de m,
OM, v et ?. Représenter ce vecteur sur la figure précédente.
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à l'axe (Oz) en
fonction de m, OM, v et ?. 2°) On étudie le mouvement d'un point matériel M de masse m dans un
référentiel R.
a) On décrit tout d'abord ce mouvement en utilisant les coordonnées
cartésiennes dans un repère cartésien (O, [pic]
Exprimer les vecteurs position et vitesse du point M dans ce repère en
fonction de x, y, z, [pic]
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à O en fonction de x,
y, z, [pic]
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à l'axe (Oz) en
fonction de x, y, z, [pic]
b) On décrit tout d'abord ce mouvement en utilisant les coordonnées
cylindriques dans la base ([pic]
Exprimer les vecteurs position et vitesse du point M dans ce repère en
fonction de r, z, [pic].
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à O en fonction de r,
z, [pic].
Exprimer le moment cinétique du point M par rapport à l'axe (Oz) en
fonction de r, z, [pic]. Application 6 : Etude d'un pendule simple
Soit un pendule simple constitué d'un fil de masse négligeable de longueur
L au bout duquel est suspendue un point matériel A de masse m, l'autre
extrémité étant accrochée à un point fixe O. Ce pendule est en mouvement
dans un plan vertical.
[pic] . Déterminer l'équation du mouvement de ce pendule simple vérifiée par
l'angle ?.
. Que devient l'équation du mouvement dans l'hypothèse où ? reste petit.
. Exprimer ? en fonction du temps (à t = 0, le point A est laché sans
vitesse initiale et ? (t=0) = ?0). Application 7 : Perle sur un rail demi-circulaire
Un point matériel M (masse m), assimilé à une perle quasi-ponctuelle, est
susceptible de coulisser sans frottement de type solide le long d'un rail
demi-circulaire de centre O et de rayon r, sans pouvoir le quitter.
Le point M est repéré par l'angle ? = [pic], tel que [pic]. Le référentiel
R de repère (O ; [pic]) est supposé galiléen.
Le point M subit l'action d'une force de frottement fluide [pic]
(coefficient positif ?).
[pic]
1°) Montrer que le moment cinétique du point matériel M par rapport à O a
pour expression :
[pic]
2°) On considère des petits mouvements au voisinage du point A. Etablir
l'équation différentielle vérifiée par ?. Quelle est la relation entre ?, r
et g correspondant au régime critique ? Dans la cas où la condition
précédente est vérifiée, résoudre cette équation différentielle. Exercices Exercice 1 : Oscillations d'un pendule
Un point matériel M (masse m) est relié à un fil inextensible (longueur O1M
= L, masse négligeable) et à un ressort horizontal de raideur k et de
longueur l0 au repos. Le fil est vertical lorsque le point matériel se
trouve au repos en O'1.
On suppose des petites oscillations quasi horizontales du point M. telles
que O'1M