Triangle équilatéral

Triangle équilatéral Constructions du triangle équilatéral réalisées avec GéoPlan : Euclide,
pliages, avec contraintes. Sommaire 1. Les éléments d'Euclide
2. Construction d'un triangle équilatéral de hauteur donnée
3. Construction par pliage à partir d'un cercle
4. Cercles et triangle équilatéral
5. Triangle équilatéral inscrit dans un carré - Problème de Abu l-Wafa
6. Construire un triangle équilatéral dont deux des sommets sont situés sur
deux droites
Construire un triangle équilatéral dont les sommets sont situés sur des
cercles concentriques
7. Relation métrique
8. D'un triangle équilatéral à l'autre
9. Triangle et cercle inscrits
10. Triangle équilatéral inscrit dans un triangle
11. Triangle équilatéral circonscrit à un triangle Faire des maths ... avec GéoPlan : http://debart.pagesperso-
orange.fr/index.html Ce document Word : http://www.debart.fr/doc/triangle_equilateral.doc
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orange.fr/geoplan/triangle_equilateral_classique.html Document n° 62, réalisé le 26/1/2004, modifié le 29/7/2009 Triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de même
longueur,
les angles sont égaux et mesurent 60 degrés (soit [pic] radians).
Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane,
hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues.
Elles ont même longueur égale à a[pic], où a est la longueur du côté du
triangle.
L'aire du triangle est égale à [pic]a2.
Le centre de gravité est confondu avec l'orthocentre et les centres des
cercles inscrit et circonscrit.
Le rayon R = OA du cercle circonscrit est égal aux [pic] de la longueur de
la médiane soit a[pic].
Le rayon r = OH du cercle inscrit est égal au [pic] de la longueur de la
médiane soit a[pic].
Dans un triangle équilatéral, le cercle circonscrit a un rayon double de
celui du cercle inscrit.
1. Les éléments d'Euclide
Collège : classes de sixième et cinquième
Proposition 1 du Ier livre des éléments d'Euclide :
Construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie. EXPOSITION. Soit AB une droite donnée et finie (on dirait maintenant un
segment [AB]).
DETERMINATION. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle
équilatéral.
CONSTRUCTION. Du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence
ACD (demande 3); et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons
la circonférence BCE; et du point C, où les circonférences se coupent
mutuellement, conduisons aux points A, B les droites CA, CB (demande 1).
DEMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle ACD, la
droite AC est égale à la droite AB (définition 15); de plus, puisque le
point B est le centre du cercle BCE, la droite BC est égale à la droite BA;
mais on a démontré que la droite CA était égale à la droite AB; donc
chacune des droites CA, CB est égale à la droite AB; or, les grandeurs qui
sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (notion 1); donc
la droite CA est égale à la droite CB; donc les trois droites CA, AB, BC
sont égales entre elles.
CONCLUSION. Donc le triangle ABC (définition 24) est équilatéral, et il est
construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.
Rappels
Demande 3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire
une circonférence de cercle.
Définition 15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne
qu'on nomme circonférence ; toutes les droites, menées à la circonférence
d'un des points placés dans cette figure, étant égales entre elles.
Définition 24. Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est
celle qui a ses trois côtés égaux.
Avec Cabri
Placer A et B et dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centre A et B et de rayon AB,
construire les points C et C1 points d'intersection des cercles.
Gommer les cercles et le deuxième point d'intersection,
tracer les segments [BC] et [AC]. 2. Construction d'un triangle équilatéral de hauteur donnée
|a. Construction par pliage d'une feuille |b. Construction avec une bande de papier |
|rectangulaire |et son axe médian |
|[pic] |[pic] |
|Marquer la feuille selon la médiatrice A1D1.|La construction du triangle équilatéral de|
|Plier l'angle en A et rabattre A' en H sur |hauteur h se fait en plaçant un des |
|la médiatrice A1D1. Le pli de la feuille est|sommets au coin d'un rectangle de largeur |
|le côté [AC]. Plier suivant (CH) et on |h. Le pied H de la hauteur [BH] est situé |
|obtient le côté [BC]. |sur la médiatrice (A1B1) du rectangle. Ce |
|H est le milieu de [BC] et l'angle AHC égal |point est aussi situé à une distance h de |
|à l'angle AA'C est droit. AH est à la fois |A. |
|hauteur et médiane de ABC qui est isocèle en|Avec GéoPlan construire le point H |
|A. La hauteur AK est égale à la hauteur de |intersection de [A1B1] et du cercle de |
|la feuille AA' qui est égale à AH. |centre A passant par B. La médiatrice de |
|Donc AB = BC, ABC est un triangle |[AH] coupe (AA') en C et la droite (CH) |
|équilatéral. En C l'angle plat est partagé |coupe (BB') en D qui est le troisième |
|en 3 angles de 60°. |sommet du triangle équilatéral BCD. |
3. Construction par pliage à partir d'un cercle Dessiner un cercle et tracer deux diamètres perpendiculaires [AA'] et [DE].
Rabattre le point A' sur O. Le pli rencontre [AA'] en H le cercle en B et
C. Quelle est la nature du triangle ABC ?
Solution
Les triangles OBA' et OCA', ayant leurs trois côtés de longueur égale au
rayon du cercle, sont équilatéraux ; l'angle au centre BOC mesure 120°.
L'angle inscrit BÂC mesure 60°. ABC est un triangle équilatéral.
Longueur du côté et aire
Si R est le rayon du cercle circonscrit,
la hauteur h du triangle est AH = AO + OH = [pic]R.
Avec le calcul de la hauteur h = a[pic], en simplifiant [pic]R = a[pic],
on trouve que a, longueur du côté BC, est égal à R[pic].
L'aire du triangle est [pic]AH × BC = 3[pic]R2. 4. Cercles et triangle équilatéral Les cercles (c1) de centre O1 et (c2) de centre O2 ont même rayon R ; le
centre de l'un appartient à l'autre.
Le point C est le symétrique de O1 par rapport à O2.
Les deux cercles se coupent en A et B.
. Montrer que le triangle ABC est équilatéral de côté R[pic].
Indications : les triangles AO1O2 et BO1O2 sont équilatéraux (configuration
de la figure 1). L'angle au centre AO2B est égal à 120°. L'angle inscrit
ACB mesure 60°.
Le triangle ABC ayant la droite (CO1) comme axe de symétrie est isocèle.
Un triangle isocèle ayant un angle de 60° est équilatéral.
Voir le paragraphe précédant pour le calcul R [pic] de la longueur du côté.
Quels sont le périmètre et l'aire de la surface hachurée formée par les
deux segments circulaires de part et d'autre de la corde [AB] ?
Indications : La surface hachurée est limitée par les deux arcs de cercle
AO1B et AO2B, arcs de longueur égale. Sur le cercle (c2), l'arc AO1B
intercepte l'angle au centre AO2B de 120°, égal au [pic] de 360°. La
longueur de l'arc est donc est égal à [pic] du périmètre 2?R du cercle,
soit [pic]?R.
Le périmètre de la surface hachurée est alors de [pic]?R.
La surface hachurée est la réunion de deux lunules, de même aire,
délimitées par la corde [AB] et les deux arcs de cercle.
L'aire de la lunule AO1B est égale à l'aire du secteur angulaire AO2B
diminué de l'aire du triangle AO2B.
L'aire du secteur angulaire AO2B est égal à [pic] de l'aire ?R2 du cercle,
soit [pic]?R2.
Le point O2 est le centre du triangle équilatéral ABC, de côté R[pic] et
d'aire 3[pic]R2 (voir paragraphe précédent).
AO2B, BO2C et CO2A partagent en trois triangles d'aire égale le triangle
ABC. L'aire du triangle AO2B est donc [pic]× 3[pic]R2 soit [pic]R2.
L'aire de la surface hachurée est donc de [pic]?R2 - [pic]R2 = ([pic] -
[pic])R2.
5. Triangle équilatéral inscrit dans un carré - Problème de Abu l-Wafa
Abu'l-Wafa (Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan connu pour
ses apports en trigonométrie et pour ses constructions à la règle et au
compas.
Il est né en 940 à Buzjan dans la région de Khorasan. A l'âge de vingt ans,
il part pour Bagdad où il restera jusqu'à sa mort en 998.
a. Le triangle d'Abu l-Wafa
Étant donné un carré OPCQ, construire un triangle équilatéral CIJ, I et J
étant situés sur les côtés du carré.
Abu l-Wafa se posait le problème comme suit :
soit OPCQ un carré de centre O2 ,et un point quelconque I sur l'arête [OP]
et le point J symétrique de I par rapport à la droite (OC) ; J est alors
sur [OQ]. Le triangle CIJ peut-il être équilatéral ?
La construction n'est pas unique, il s'agit d'en réaliser au moins une
aboutissant à un triangle équilatéral inscrit dans le carré.
b. Solution proposée par Abu l-Wafa :
1. Construire le cercle (c2) de centre O2, circonscrit à OPCQ.
2. Construire un second cercle (c1) de centre O passant par O2.
3. Nommer A et B les deux points d'intersection de ces cercles.
(le triangle ABC est équilatéral comme le montre la figure du
paragraphe 4)
4. On peut alors prouver que les droites (CA) et (CB) coupent les arêtes
du carré en deux points qui sont les points I et J recherchés. Le
triangle CIJ est équilatéral.
c. Trois triangles équilatéraux
Construction
Construire les cercles (c1) de centre O passant C et (c2) de centre C
passant par O.
Ces deux cercles se coupent en D et H.
Soit A et B les milieux de [OD] et [OH].
Les droites (CA) et (CB) coupent les arêtes du carré aux points I et J.
Le triangle CIJ est équilatéral.
Indications
Les rayons [OD] et [OH] font un angle DÔH de 120°. Leurs médiatrices (CA)
et (CB) font u