2001-11.micro-corrige.doc

Université de Nice Sophia-Antipolis Année universitaire 2001-2002

Faculté des Sciences
DEUG MASS2

Microéconomie



COrrection Devoir Surveillé n°1

Exercice n°1
u(x1, x2) = x1 (2.x2 - 3)
avec x1 ( 0, x2 ( 3/2 et p2 < 2R/3

1) 1ère étape : Déterminer la nature des courbes d'indifférences :

Soit k un niveau d'utilité quelconque : k = x1 (2.x2 - 3)

x2 = f(x1) = k/2x1 + 3/2
f '(x1) = - k/(2x1²)
f ''(x1) = k/x13 > 0 : donc les courbes d'indifférences sont convexes.

2éme étape : Programme du consommateur

Max u(x1, x2) = x1 (2.x2 - 3)
ss/c R = p1x1 + p2x2

Les courbes étant convexes, la résolution du programme d'optimisation sous
contrainte du consommateur peut-être faite par la méthode du Lagrangien.
Plus rapidement, on va partir de la condition d'équilibre : TMS = p1/p2.

TMS = Um1/Um2 = (2x2 - 3)/ 2x1

L'égalité entre le TMS et le rapporte des prix nous permet de mettre en
évidence l'équation du chemin d'expansion du revenu du consommateur :

x2 = p1x1/p2 + 3/2

On remplace cette expression dans la contrainte budgétaire afin de
déterminer les fonctions de demande des deux biens, on arrive à :

x1d = (2R - 3p2)/4p1
x2d = (R/2p2) + 3/4

La condition p2 < 2R/3 garantit que la demande du bien 1 est positive et
que celle du bien est ( 3/2.

2) R = 6, p1=p2 = 1

e x2/R = 2/3, elle est comprise entre 0 et 1 : bien normal et de première
nécessité
e x2/p2 = -2/3, elle est négative : bien ordinaire
e x1/p1 = -1, elle est négative : le bien 1 est complémentaire au bien 2.

3) On incorpore les données numériques dans les fonctions de demande afin
de déterminer la quantités désirées par le consommateur et l'utilité
engendrée :

x11 = 3/4
x21= 9/4
umax1 = u(x11, x21) = 9/8

x2

chemin d'expansion du revenu

R/p2 = 3

x21 = 9/4
3/2 courbe d'indifférence umax = 9/8
asymptote horizontale : x2 = 3/2

x1
x11 = 3/4 R/p1 = 3



4) De la même manière on détermine l'impact de la variation de prix sur
la situation du consommateur :

x12 = 3/8
x22 = 7/4
umax2 = u(x12, x22) = 3/16

Pour décomposer la variation du prix en effet de substitution et de revenu,
on détermine le revenu correspondant à la situation intermédiaire, c'est à
dire celui permettant de maintenir le pouvoir d'achat initial, étant donné
le nouveau système de prix :

R' = p1x1 + p2'x2 = 2*3/4 + 3*9/4 = 33/4

Les consommations de l'agent au niveau de la situation intermédiaire sont
déterminées grâce aux fonction de demande, en prenant en compte R', p1 et
p2' :

x1' = 15/16
x2' = 17/8
umax' = u(x1', x2') = 75/64


Effet de substitution :
(x1S = x1' - x11 = 3/16
(x2S = x2' - x21 =-1/8


Effet de revenu :
(x1R = x12 - x1'=-9/16
(x2R = x22 - x2'=-3/8 > 0 : le bien 2 est un bien normal

Effet total :
(x1T = (x1S + (x1R = x12 - x11 = -3/8 0 et les courbes d'indifférences sont concaves.
Si ( = 1, (TMS/(x1 = 0 et les courbes d'indifférences sont linéaires.
Si ( < 1, (TMS/(x1 < 0 et les courbes d'indifférences sont convexes.

Les cas où ( et/ou ( = 0, ne permettent pas de définir des courbes
d'indifférences, puisque, dans ces cas là, l'utilité du consommateur est
constante et ne dépend pas de x1 et x2.

2) On suppose désormais que ( = 1 et ( = 3.

u(x1,x2) = (x1 + x2)3

La courbe d'indifférence relative au niveau d'utilité u =27 a pour
équation :
x2
x2 = 271/3 - x1
3
c'est à dire : x2 = 3 - x1 x1
3
Les courbes d'indifférences sont donc linéaires, les biens sont des
substituts parfaits.

3) Pour déterminer la fonction de demande, on ne peut appliquer la
méthode du Lagrangien (car les courbes d'indifférences sont
linéaires), en fait on a :

x1d = 0 si p1 > p2
x1d ([0, R/p1] si p1 = p2
x1d = R/p1 si p1 < p2

4) Courbe de demande pour p2 = 2 et R = 5

x1d = 0 si p1 > 2
x1d ([0, 5] si p1 = 2
x1d = 10/p1 si p1 < 2

x1








5




p1
2