bac S 2000 - Descartes et les Mathématiques

Bac S 2000 - CENTRES ETRANGERS

Probabilité, transformation, géométrie dans l'espace, fonction logarithme

Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word :
http://www.debart.fr/doc/bac_2000/bac_s_centres_etrangers_2000.doc

BACCALAUREAT GENERAL - Session 2000
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9


OBLIGATOIRE et SPECIALITE



L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.


Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies. Le formulaire officiel
de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars 1991, et deux feuilles de
papier millimétré sont joints au sujet.

Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1 à 5.


EXERCICE 1 (5 points) commun à tous les candidats

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes et on donnera les
réponses sous forme de fractions.
Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges et 2 boules vertes,
indiscernables au toucher.

1. On tire simultanément au hasard 3 boules de l'urne.

a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
E1 : Les boules sont toutes de couleurs différentes ;
E2 : Les boules sont toutes de la même couleur. (1 point)

b) On appelle X la variable aléatoire qui, à tout tirage de trois boules,
associe le nombre de boules bleues tirées.

Établir la loi de probabilité de X. (1,5 point)
Calculer l'espérance mathématique de X. (0,5 point)

2. Soit k un entier supérieur ou égal à 2.
On procède cette fois de la façon suivante : on tire au hasard une boule de
l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne avant de
procéder au tirage suivant.
On effectue ainsi k tirages successifs.

Quelle est la valeur minimale de k pour que la probabilité de ne tirer que
des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que la probabilité
de ne tirer que des boules rouges ? (2 points)
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de
spécialité
Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que :
[pic].
On désigne par I, J, K, L, et O les milieux respectifs des segments [AB],
[BC], [CD], [DA] et [BD].
On note [pic]la médiatrice de [AB] et [pic] la médiatrice de [CD].

1. Soit f l'isométrie du plan définie par :
f(A) = B,
f (B) = D,
f (D) = C.

a) Prouver que f est un antidéplacement. (0,5 point)

b) Démontrer que, s'il existe un point M invariant par f, alors M est
équidistant des points A, B, C, D. (1 point)

c) L'isométrie f admet-elle un point invariant ? (0,5 point)

2. Soit ( la symétrie orthogonale d'axe (() et r la rotation de centre B et
d'angle [pic].
a) Démontrer que f = [pic] (0,5 point)

b) A-t-on [pic]? (0,5 point)

3. Soit s1 la symétrie orthogonale d'axe (BC).

a) Déterminer l'axe de la symétrie orthogonale [pic] telle que [pic].
(0,5 point)

b) En déduire que f peut s'écrire sous la forme [pic], où [pic] est une
translation que l'on précisera. (0,5 point)

4. Soit [pic] la translation de vecteur [pic]; on note [pic]sa réciproque
et on pose [pic]

a) Déterminer g(D), g(I), g(O).
En déduire la nature précise de la transformation g. (0,5 point)

b) Démontrer que [pic] A-t-on [pic]? (0,5 point)
EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

On se propose d'étudier une modélisation d'une tour de contrôle de trafic
aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux
droites de l'espace.
L'espace est rapporté à un repère orthonormal [pic] d'unité 1 km.
Le plan [pic]représente le sol.
Les deux « routes aériennes » à contrôler sont représentées par deux
droites [pic]et [pic], dont on connaît des représentations paramétriques :

[pic] [pic].

1. a) Indiquer les coordonnées d'un vecteur [pic] directeur de la droite
[pic] et d'un vecteur [pic] directeur de la droite [pic]. (1 point)

b) Prouver que les droites [pic]et [pic]ne sont pas coplanaires. (1
point)

2. On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de coordonnées S
(3 ; 4 ; 0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par
une droite notée (R). Soit [pic]le plan contenant S et [pic] et soit [pic]
le plan contenant S et [pic].
a) Montrer que [pic] est sécante à [pic]. (1 point)

b) Montrer que [pic] est sécante à [pic]. (1 point)

c) Un technicien affirme qu'il est possible de choisir la direction de (R)
pour que cette droite coupe chacune des droites (D1) et (D2).
Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse. (1 point)
PROBLEME (10 points) commun à tous les candidats

Les buts du problème sont l'étude de la fonction f définie sur l'intervalle
[pic] par [pic], puis la recherche de primitives de cette fonction.


Première partie - Étude de fonctions auxiliaires


1. On définit la fonction g sur l'intervalle [pic] par :
[pic].

a) On admet le résultat suivant : [pic].
En déduire la limite de [pic]lorsque x tend vers 1. (0,5 point)

b) Calculer [pic]pour x appartenant à l'intervalle [pic] (0,5 point)

c) Résoudre l'inéquation [pic], d'inconnue x appartenant à l'intervalle
[pic]
(0,5 point)

d) Étudier le sens de variation de g sur l'intervalle[pic] (0,5 point)

e) Montrer que l'équation [pic] a une solution unique, notée [pic] dans
l'intervalle [pic], et étudier le signe de [pic] sur chacun des intervalles
[pic]et [pic]
(1 point)

2. Soit [pic]la fonction définie sur l'intervalle [pic] par :
[pic].
a) Déterminer [pic] et prouver que [pic] (1 point)
b) Calculer [pic]et montrer que [pic]est du signe de [pic]sur l'intervalle
[pic]
(1 point)

c) Montrer que ( est croissante sur l'intervalle[pic]et décroissante sur
l'intervalle [pic] (1 point)

Deuxième partie - Étude de la fonction f

1. Vérifier que, pour tout x appartenant à l'intervalle [pic], on a [pic].
(0,5 point)

2. En déduire :

a) la limite de [pic]lorsque x tend vers 0 ; (0,25 point)

b) la limite de [pic]lorsque x tend vers + ( ; (0,25 point)

c) le sens de variation de f sur l'intervalle [pic]et que f admet un
maximum en[pic]. (0,5 point)

3. Montrer que, pour tout x de l'intervalle [pic]
[pic]. (0,5 point)

4. Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant des valeurs
approchées à [pic]près : (0,5 point)

|x |0,1 |0,5 |1 |1,5 |2 |3 |
|f(x)| | | | | | |

5. Représenter graphiquement f dans un repère orthogonal, d'unités 5 cm en
abscisse et 10 cm en ordonnée. On prendra 10 comme valeur approchée de
[pic] (0,5 point)



Troisième partie - Recherche de primitives de f


1. Vérifier que f est solution de l'équation différentielle
[pic]. (0,5 point)

2. On pose [pic].
a) Trouver une primitive H de h sur l'intervalle [pic]. (0,5 point)

b) En déduire les primitives F de f sur l'intervalle [pic]. (0,5 point)