EXERCICE 1 - Exercices corriges

[pic]









[pic]
[pic]
















[pic]













[pic]






TD N°1 : STATIQUE PAR LES TORSEURS

TD N°2 : CINEMATIQUE

TD N°3 : CINETIQUE - CALCUL DU CENTRE DE GRAVITE

TD N°4 : CINETIQUE - APPLICATION AU TENSEUR D'INERTIE

TD N°5 : CINETIQUE - CALCUL DU MOMENT CINETIQUE ET DE
L'ENERGIE INETIQUE


TD N°6 : CINETIQUE - THEOREMES GENERAUX

TD N° 7 : PRINCIPE DU TRAVAIL VRTUEL

TD N°8 : EQUATIONS DE LAGRANGE





























TD N°1
STATIQUE PAR LES TORSEURS







Exercice 1


Pour dégager une voiture en panne prise entre 2 automobiles stationnées, 3
personnes exercent des actions aux points A, B et C.
[pic]
1- Déterminer le torseur résultant de ces actions au point G.
2- Vérifier que ce torseur est un glisseur et déterminer son axe.




Exercice 2



Déterminer les caractéristiques en A du torseur des efforts appliqués sur
cet ensemble.
[pic]






Exercice 3


Une clé à bougie se compose d'un corps et d'une tige de man?uvre
coulissante. En utilisation, l'opérateur exerce les efforts [pic] et [pic]
(F = 100 N et F1 = 10 N) en A et B.
- Déterminer les caractéristiques en E et O du torseur de ces efforts, dans
les 2 positions.
[pic]




Exercice 4

Une poutre sur 2 appuis est soumise à une charge répartie variant
linéairement [pic] avec a = 100 N/m².
Déterminer les éléments de réduction les plus simples du torseur associé à
la charge [pic].







Exercice 5
[pic]
[pic]




SOLUTION DU TD N°1





Exercice 1

[pic]
La voiture est soumise à 3 torseurs :
a) action en A : [pic]
car [pic]//[pic] .
b) action en B : [pic]
car [pic]
c) action en C : [pic]
car [pic]
Le torseur résultant en G est égal à :
[pic]
La force résultante est égale à : [pic]
Le moment résultant est égal à [pic]
Le torseur est un glisseur si en un point D(x,y), le moment résultant [pic]
s'annule :
[pic]Soit [pic]=0 ou 566.51 x -525 y - 690 =0

La droite d'équation 566.51 x -525 y - 690 =0 est l'axe du glisseur. Pour
tous les points appartenant à cette droite, le torseur se réduit à un
glisseur




Exercice 2


L'ensemble est soumis à l'action de 5 torseurs appliqués en A, K, H, I et F
Tout d'abord, il faut convertir les distances en m

a) action en A
[pic]
b) action en K : [pic]
[pic]
[pic]

c) action en H : [pic]
[pic]
d) action en I : [pic]

[pic]

2) action en F : [pic]
[pic]

[pic]

[pic]
Méthode directe : les forces [pic] et [pic] sont égales et opposées, leur
action est un couple autour de l'axe y, le module de ce couple est : C=F d
=160 (0.15+0.1)=40 N.m
Donc : les forces [pic] et [pic] peuvent être remplacées par un torseur
couple : [pic]
[pic]

Exercice 3


[pic]

La force résultante en O est égale à : [pic]
Le moment résultant est égal à : [pic]
[pic]
[pic]
1- Position 1 : [pic] d'où [pic] [pic]
2- Position 2 : [pic]
[pic]
[pic] D'où [pic]
En E la force résultante ne change pas [pic]
Le moment en E est égal à : [pic] car[pic] // [pic]
D'où [pic]


Exercice 4










Calculons le torseur résultant en un point G(b,0,0) :
La force résultante est égale à : [pic]
Le moment résultant en G est égal à :
[pic]
Si on choisit [pic] alors [pic]
Et le torseur se réduit à : [pic]avec [pic]













Exercice 5

[pic]
[pic]
[pic]



































TD N°2
CINEMATIQUE


Exercice1
Un repère mobile R'(Ox'y'z') tourne autour de l'axe Ox. [pic]
Soit un vecteur [pic] projeté dans le repère R'.
a- Calculer [pic]en exprimant [pic]en fonction de [pic]
b- Calculer [pic]à l'aide de la dérivée d'un vecteur.
[pic]

Exercice2
Un bipendule est constitué de deux barres OA et OB de longueur [pic]et
[pic].
Calculer les composantes des vitesses [pic]et [pic]dans les deux repères R'
et [pic].
O est fixe, le système oscille dans le plan oxy, le repère R' est lié à la
barre AB, le repère [pic]est lié à la barre OA.
[pic]

Exercice 3
Un axe horizontal CD tourne autour d'un axe vertical [pic]ou [pic] à la
vitesse angulaire[pic]. La barre OP de longueur l est soudée en O à CD et
lui est [pic]. Elle peut tourner autour de CD d'un angle[pic]. Sachant que
[pic]est un repère fixe, le repère [pic] est un repère intermédiaire dont
[pic] est suivant CD, [pic]est suivant OP.
Déterminer l'accélération du point P [pic] par la dérivée du vecteur[pic].
Le choix des axes de projection est important.
[pic]

Exercice4
Une toupie tourne autour de son axe de révolution à la vitesse
angulaire[pic], cet axe fait l'angle [pic] constant avec la verticale et
tourne autour de celle-ci à la vitesse[pic].
Déterminer le module de la vitesse angulaire [pic] et l'angle que fait
celle-ci avec la verticale.
[pic]
















SOLUTION TD N°2

Exercice1
Ro =Oxyz repère fixe, R'=O'x'y'z' repère mobile[pic], [pic]
a- Calcul de [pic]en exprimant [pic] en fonction de [pic]
On a [pic]
[pic] [pic] [pic]
[pic]
b- En utilisant la dérivée d'un vecteur
[pic]

Exercice2
[pic]
Ro =Oxyz repère fixe, R1 =Ox1y1z1 repère mobile [pic]
R' =Ax'y'z' repère mobile [pic] [pic] [pic]

a- Calcul de la vitesse [pic] du point A.
[pic]
[pic]
[pic]
Repère R' : [pic]

[pic]
b- Vitesse [pic] du point B dans chacun des repères.


[pic]

[pic]

Repère Ro :
[pic]
Repère R1 :
[pic]
Repère R' :
[pic]

Exercice 3
[pic]
[pic]
[pic]

[pic]

[pic]

Exercice 4
[pic]
La toupie tourne avec une vitesse angulaire totale [pic]
[pic]
[pic]
2- Soit [pic]l'angle que fait [pic]avec la verticale.
[pic]
[pic]







TD N°3
CINETIQUE
CALCUL DU CENTRE DE GRAVITE

Exercice 1
- Montrer que le centre de gravité d'un parallélogramme est le point
d'intersection des diagonales.
- Montrer que le centre de gravité d'un triangle est le point
d'intersection des médianes.

Exercice2
Calculer la position du centre de gravité de d'une tige curviligne
homogène(figure 1). On donne A(4,3), B(6,3), D(10,3). Le rayon de la forme
circulaire est de 2.
[pic]
Figure 1

Exercice 3
Calculer par rapport à un repère que vous choisissez les coordonnées du
centre de gravité d'une surface homogène (figure 2). AB=ED=12, BC=8, CD=6.
(AE)//(BD), (AB)//(ED), [pic] La forme arrondie est un demi-cercle.
On donne les angles : [pic] , [pic].
[pic]
Figure 2








SOLUTION DU TD N°3


Exercice 1
a- Le point de rencontre des diagonales est un centre de symétrie pour le
parallélogramme. Or on a vu que tout centre de symétrie d'une structure
homogène est un centre de gravité.
En effet, si la structure possède un centre de symétrie O, alors on peut
décomposer la surface en deux parties S1 et S2 telle que S2 soit le
symétrique de S1 par rapport à O.
On par définition : [pic]
D'où G=O
[pic]

b- Soit un triangle ABC, on décompose la surface en tranches
infinitésimales (épaisseur très petite) parallèles à BC. Le centre de
gravité de chaque tranche est situé en son milieu. Or on a vu que le centre
de gravité d'un solide composé de deux autres solides de centres de gravité
G1 et G2 est situé sur la droite G1G2. Donc le centre de gravité du
triangle est situé sur la droite reliant les milieux de chaque tranche, il
se trouve donc sur la médiane AM.
D'une façon similaire, on peut montrer qu'il se trouve sur les 2 autres
médianes.
Le centre de gravité est donc le point d'intersection des médianes.
En utilisant la géométrie des triangles, on montre que [pic]
[pic]






Exercice 2
[pic]
On note d'abord que le centre C du cercle se trouve sur la médiatrice du
segment [AB].
On a : AB=2, AC=BC=R=2
[pic], [pic],
La tige OA a pour longueur[pic], son centre de gravité [pic] est situé au
milieu de OA. [pic]
La forme circulaire a pour longueur [pic], son centre de gravité [pic]
est situé sur son axe de symétrie[pic], d'après le formulaire, on a :
[pic]
On a [pic]
[pic]
La tige BD a pour longueur[pic], son centre de gravité [pic] est situé au
milieu de BD. [pic]
Le centre de gravité G de la tige est donnée par : [pic]
[pic] ([pic] est la masse linéique). La tige étant homogène donc [pic] est
constante, et par conséquent : [pic]
[pic]
Le centre de gravité G a pour coordonnées (4.02, 3.06)


Exercice 3
[pic]
La surface en question peut-être décomposée en 3 éléments : un demi-cercle
de centre O et de rayon OA, un parallélogramme ABDE, et un triangle droit
BCD.
1- Le demi-cercle a pour rayon [pic]
Sa surface est égale à[pic], son centre de gravité G1 est (voir
formulaire) tel que : [pic]
On [pic]
[pic]

2- Pour le parallélogramme ABDE, la