Bac maths ES 2004 - National - Descartes et les Mathématiques

Bac ES 2004 - Sujet national Suites et restitution organisée de connaissances - Calculs de pourcentages
- Graphe - Étude graphique d'une fonction - Fonction exponentielle. Annales bac ES non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2004/bac_es_national_2004.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2004
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : ES Durée : 3 heures Coef. : 5 ou 7
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit
traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut
admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la
copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en
compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 6
pages numérotées de 1 à 6. EXERCICE 1 (5 points) Commun à tous les candidats Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est
exacte. On demande de cocher cette réponse sur la feuille. Une bonne
réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point.
L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice
est 0. |QUESTIONS |RÉPONSES (à porter sur la feuille ANNEXE|
| |1) |
|Pour les trois premières questions, A et B sont des évènements associés à une |
|expérience aléatoire |
|1. Si B est l'évènement contraire de A, |p(A) = 1 + p(B) |
|alors |p(A) = 1 - p(B) |
| |p(A) = p(B) |
|2. Si A et B sont deux évènements |[pic] [pic] |
|indépendants et p(A) ( 0, alors |[pic] [pic] |
| |[pic] pA(B) = p(B) |
|3. Si A et B sont deux évènements |[pic] [pic] |
|incompatibles alors |[pic] p(A) = 1 - p(B) |
| |[pic] [pic] |
|4. Soit [pic] un nombre réel strictement|[pic] - ( |
|positif [pic] |[pic] [pic] |
| |[pic] + ( |
|5. La représentation graphique de la |[pic] une asymptote verticale |
|fonction logarithme népérien admet |[pic] une asymptote horizontale |
| |[pic] une tangente horizontale |
|6. eln x = x pour tout [pic] appartenant|[pic] [pic] |
|à |[pic] ]0 ; + ([ |
| |[pic] [0 ; + ([ |
|7. Soit un réel a, ln(ea) - 2e + ln(1) =|[pic] ea - 2e + e |
| |[pic] ea - 2e |
| |[pic] a - 2e |
|8. Soient [pic] et [pic] des réels |[pic] - ab |
|strictement positifs, |[pic] a - b |
|eln a + e - ln b = |[pic] [pic] |
|9. Une primitive de la fonction |[pic] [pic] |
|logarithme népérien sur [0 ; + ([ |[pic] [pic] |
| |[pic] [pic] |
|10. Pour tout réel [pic] strictement |[pic] x < 1 |
|inférieur à 1, ln(1 - x) > 1 est |[pic] x < 1 - e |
|équivalent à |[pic] x > e | EXERCICE 2 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 3000
euros pour l'année 1998.
Depuis 1998, L'évolution de la subvention en pourcentage d'une année à
l'autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous : |Année |1999 |2000 |2001 |2002|200|
| | | | | |3 |
|Évolution en |+ |+ |+ |+ |[pi|
|pourcentage |[pic]|[pic]|[pic]|[pic|c] |
| | | | |] | | Par exemple, le taux d'évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de
10%. 1.
a) Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention
attribuée (en euro). Les résultats seront arrondis à l'unité.
b) Le responsable sportif se plaint d'une diminution continuelle des
subventions depuis l'année 1999. Quelle confusion fait-il ?
2. On admet que le montant de la subvention en 2003 est de 5130 euros. c) Calculer le pourcentage de diminution ou d'augmentation de la
subvention de 1998 à 2003.
d) Si le taux d'évolution de la subvention d'une année à l'autre était
fixe et égal à t %, quelle serait la valeur de t arrondie à [pic]
près qui donnerait la même augmentation de la subvention entre 1998
et 2003 ?
e) Avec ce même taux d'évolution t, quelle serait la subvention,
arrondie à l'unité, en 2004 ?
EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Le graphe ci-dessous indique, sans respecter d'échelle, les parcours
possibles entre les sept bâtiments d'une entreprise importante. [pic] Un agent de sécurité effectue régulièrement des rondes de surveillance. Ses
temps de parcours en minutes entre deux bâtiments sont les suivants :
AB : 16 minutes AG : 12 minutes ; BC : 8 minutes ; BE : 12 minutes ; BG : 8
minutes ;
CD : 7 minutes ; CE : 4 minutes ; CG : 10 minutes ; DE : 2 minutes ; EF : 8
minutes ;
EG : 15 minutes ; FG : 8 minutes. Sur chaque arête, les temps de parcours sont indépendants du sens de
parcours. 1. En justifiant la réponse, montrer qu'il est possible que l'agent de
sécurité passe une fois et une seule par tous les chemins de cette
usine. Donner un exemple de trajet.
2. L'agent de sécurité peut-il revenir à son point de départ après avoir
parcouru une fois et une seule tous les chemins ? Justifier la réponse.
3. Tous les matins, l'agent de sécurité part du bâtiment A et se rend au
bâtiment D. En utilisant un algorithme que l'on explicitera, déterminer le chemin qu'il
doit suivre pour que son temps de parcours soit le plus court possible, et
donner ce temps de parcours. EXERCICE 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la courbe ci-dessous représentative d'une fonction g définie
et dérivable sur l'intervalle I = ]0 ; 21]. La courbe est à rendre avec la copie. [pic] La droite tracée sur le graphique est tangente à la courbe au point
d'abscisse 1 et passe par l'origine. On prendra 7,4 comme valeur approchée
du réel de l'intervalle I pour lequel [pic] atteint son maximum. 1. On note g' la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle I.
Utiliser le graphique pour donner les valeurs de g(1) et g'(1). (Aucune
justification n'est demandée). 2. Résoudre graphiquement dans l'intervalle I les trois inéquations ci-
dessous (les valeurs lues sur le graphique seront données à [pic]
près). Aucune justification n'est demandée, mais pour l'inéquation (3)
les éléments graphiques utiles seront portés sur la courbe :
(1) : g(x) ( 0
(2) : g'(x) ( 0
(3) : g(x) < x. 3. On admet que pour tout [pic] de l'intervalle I, g(x) = -4 + ax(3 - b ln
x) où a et b sont deux nombres réels. On veut calculer a et b.
a) Montrer que pour tout [pic] élément de l'intervalle I : g'(x) = a[3
- b(1 + ln x)].
Exposer le détail des calculs. (b) À l'aide des valeurs de g(1) et g'(1) obtenues à la question 1.,
calculer a et b.
EXERCICE 4 (5 points) Commun à tous les candidats Soit [pic] la fonction définie pour tout [pic] élément de [pic] par :
f(x) = (x2 + 1) e - x+2
On note ( la représentation graphique de [pic] dans un repère orthogonal et
D la droite d'équation [pic].
On note A l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe (, la
droite D et la droite d'équation x = 0.
On note O, P, Q et R les points de coordonnées O(0 ; 0), P(0 ; 5), Q(2 ; 5)
et R(0 ; e2).
(Voir la représentation ci-dessous).
1. Détermination d'un encadrement de l'aire A :
a) Montrer par le calcul que le point Q appartient à la droite D et
à la courbe ( et que la courbe ( coupe l'axe des ordonnées au
point R.
b) Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte des aires de chacun
des triangles OPQ et OQR.
En déduire un encadrement de l'aire A en unités d'aire.
2. Calcul de la valeur exacte de l'aire A :
a) Exprimer l'aire A à l'aide d'une expression faisant intervenir
une intégrale.
b) Soit G la fonction définie pour tout x élément de R par :
G(x) = (-x2 -2x -3) e - x+2
On note G' la fonction dérivée de G sur R.
Pour tout x élément de R,