Applications affines : séries n°2

Terminale C Transformations affines
1. Homothétie 1
2. Homothétie 2
3. Homothétie 3
4. Barycentres +Homothétie
5. Barycentres +Homothétie
6. Homothétie et translation
7. Homothétie
8. Homothétie
9. Cercles et lieux
10. Cercles et lieux
11. Lieux géométriques
12. Homothétie et cercles
13. Réflexion - 1
14. Réflexion - 2
15. Rotation
16. Rotation
17. Carré et parallélogramme
18. Triangle isocèle
19. Transformation
20. Triangle
21. Triangle et rotation
22. Parabole
23. Triangle et lieux
24. Homothéties dans un trapèze (c)
25. QCM Homothéties (c)
1 Homothétie 1 Soit ABC un triangle, ([pic]) son cercle circonscrit et O le centre de
([pic]).
Soit H le milieu de [BC] et D le point de ([pic]) diamétralement opposé à
A. B' est le symétrique de A par rapport à B et C' le symétrique de A par
rapport à C. D se projette orthogonalement en K sur [B'C'].
Le but de l'exercice est de démontrer que K est le milieu de [B'C'] et que
les points A, H et K sont alignés . Pour cela on considère l'homothétie h
de centre A qui transforme B en B'
1. Quel est le rapport de h ?
2. Déterminer les images par h des points O et C, puis l'image du segment
[BC].
3. Soit ([pic]) l'image du cercle ([pic]) par h. Quel est le centre de
([pic]) ? Montrer que ([pic]) passe par B' et C' .
4. Montrer que (DK) est médiatrice de [B'C'] . En déduire que K = h(H) puis
que les points A, H et K sont alignés. 2 Homothétie 2 Dans la figure ci-dessous, ABCD est un parallélogramme, I est un point
donné de (BD), (AI) coupe (BC) en J et (DC) en K.
1. Montrer que les triangles AID et BIJ sont semblables de même que AIB et
DIK.
2. Montrer que [pic].
[pic] 3 Homothétie 3 Soit un triangle ABC. On appelle I le milieu de [BC].
Soit [pic] le cercle circonscrit au triangle ABC. On appelle O son centre.
D est le point diamétralement opposé à A sur le cercle [pic].
On considère l'homothétie h de centre A et de rapport 2.
1. Construire le point E, image de B par h, et le point F, image de C par
h.
2. a. Déterminer l'image de O par h.
b. Construire l'image de la droite (IO) par h.
c. Montrer que l'image de (IO) est perpendiculaire à (EF).
3. K est le projeté orthogonal de D sur (EF).
a. Déterminer l'image de I par h.
b. Montrer alors que I est le milieu de [AK].
c. En déduire que K est le milieu de [EF]. 4 Barycentres +Homothétie On considère dans un plan P un triangle ABC , B' le milieu de [AC] , C'
celui de [AB], I le barycentre du systême {(A, 2), (B, 2), (A, 1), (C, 1)},
et D celui de {(A, 3), (B, 2)}.
1. Montrer que I est le barycentre de {(B', 1), (C', 2)} et de {(D,
5),(C, 1)}. En déduire une construction géométrique simple de I. Faire la
figure.
2. La droite (AI) coupe (BC) en E . Préciser la position de E sur [BC] .
3. B et C restent fixes, A se déplace dans le plan de sorte que AE soit
constante. Déterminer et construire l'ensemble des points A, des points I
et des points D. 5 Barycentres +Homothétie Dans le plan, on considère un triangle équilatéral ABC tel que [pic]. On
appelle [pic] le cercle circonscrit à ABC, I le milieu de [AB] et J celui
de [OI]. Les droites (OA) et (OC) recoupent [pic] respectivement en D et E.
1. Faire la figure (unité : OA = 4 cm)
2. On note G l'isobarycentre de A, B, C, D et E. Exprimer [pic] en fonction
de [pic] puis en fonction de [pic] et [pic]. En déduire une construction
géométrique simple de G.
3. A tout point M du plan on fait correspondre le point M' = f(M) défini
par :
[pic].
Montrer que f est une homothétie dont on donnera le centre et le rapport. 6 Homothétie et translation Dans le plan on considère le triangle ABC isocèle rectangle en A tel que
[pic].
1. Déterminer le barycentre G des points A, B, C affectés des coefficients
4, -3, 2. Construire G.
2. Soit [pic]. Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que [pic].
Représenter cet ensemble.
3. Soit [pic] .
Discuter suivant les valeurs de k la nature de F. 7 Homothétie Soit deux cercles (C) et (C') de centres respectifs O et O' et de rayons R
et R' distincts.
1. Déterminer les homothéties transformant (C) en (C'). On précisera leurs
centres et leurs rapports.
2. Construire les tangentes communes à (C) et (C'). 8 Homothétie ABC est un triangle isocèle (AB = AC). E et F sont deux points du segment
[BC]. Les parallèles à (AB) menées par E et F coupent (AC) en G et H
respectivement. Les parallèles à (AC) menées par E et F coupent (AB) en I
et J respectivement.
1. Montrer que GH = IJ.
2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient
parallèles ? 9 Cercles et lieux Il est vivement recommandé d'utiliser un logiciel de géométrie...
1. Partie préliminaire : on considère un triangle ABC, G son centre de
gravité, [pic] le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre.
Montrer que H est l'image de [pic] dans une homothétie de centre G dont on
précisera le rapport.
2. On considère un cercle [pic] de centre O, de rayon R, passant par un
point fixe A. Soient B et C deux points de [pic] tels que la distance BC
soit constante et égale à l.
a. Quel est le lieu géométrique des milieux I de [BC] ?
b. Quel est le lieu géométrique des centres de gravité G de ABC ?
c. Quel est le lieu géométrique des orthocentres H de ABC ?
3. Reprendre la partie 2. avec BC sur une droite [pic] ne passant pas par
A, A fixe. 10 Cercles et lieux Il est vivement recommandé d'utiliser un logiciel de géométrie...
Dans le plan on donne deux points A et B distincts. Soit (D) la droite
perpendiculaire à (AB) en B. On considère tous les cercles (C) du plan
caractérisés par la propriété suivante : T et T' étant les points de
contact des tangentes menées de A à (C), le triangle ATT' est équilatéral.
1. En étudiant le rapport des distances du centre d'un cercle (C) aux
points A et B, déterminer et préciser la nature de l'ensemble des centres
des cercles (C) qui passent par B.
2. Déterminer et préciser la nature de l'ensemble des centres des cercles
(C) tangents à la droite (D). 11 Lieux géométriques Soit k un réel différent de 0 et de 1. On considère trois points A, B et C
deux à deux distincts tels que [pic] et les cercles [pic] et [pic] de
diamètres respectifs [AB] et [AC].
Une droite [pic] non perpendiculaire à (AB) et distincte de (AB), passant
par A, recoupe les cercles [pic] et [pic] respectivement en M et N.
1. a. Quelle est la position relative des droites (BM) et (CN) ?
b. pour quelle valeur de k les droites (BN) et (CM) sont-elles parallèles ?
2. On suppose désormais que k est fixé et différent de -1. Soit P le point
d'intersection des droites (BN) et (CM).
a. Soit h l'homothétie de centre P telle que h(B) = N. Montrer que
h(M) = C. Calculer le rapport de h en fonction de k.
b. Déterminer le réel [pic] tel que [pic]. Quel est le lieu géométrique du
point P lorsque [pic] varie ?
c. En se plaçant dans le cas où k = 2 et où la distance BA = 6 cm, donner
les éléments géométriques remarquables du lieu géométrique L de P et faire
une figure soignée. 12 Homothétie et cercles On se place dans un repère orthonormé du plan. Soit deux cercles (C) et
(C') de centres respectifs O(0 ; 0) et O'(4 ; 0) et de rayons 2 et 1. Faire
la figure.
1. Soit l'homothétie de rapport -2 transformant O en O'.
a. Montrer que l'écriture analytique de h est : [pic].
b. Vérifier alors que l'image de (C) est bien (C').
c. Quelles sont les coordonnées de centre [pic] de h ?
2. Il existe une deuxième homothétie h' transformant (C) en (C') mais de
rapport 2. Trouver son écriture analytique puis les coordonnées de son
centre .
3. Contruire les cercles (c) et (c') de diamètres respectifs [pic] et
[pic]. Ces cercles coupent (C) et (C') en P, P', Q et Q'. Que peut-on dire
des droites (PQ), (P'Q), (PQ') et (P'Q') ?
Calculer la distance PQ. 13 Réflexion - 1 Soit ABC un triangle ni isocèle ni rectangle. I le milieu de [BC] et
([pic]) la médiatrice de [BC]. A' est le symétrique de A par rapport à (BC)
et A'' le symétrique de A par rapport à I.
Soit K le point d'intersection de (CA') et de (BA''). On se propose de
montrer que K appartient à ([pic]).
1. Soit [pic] la symétrie de centre I. Déterminer les images de A, B et C
par [pic].
2. Soit [pic] la réflexion d'axe (BC). Déterminer les images de A, B et C
par [pic].
3. Soit [pic]la réflexion d'axe ([pic]) . Déterminer la nature et les
caractéristiques de [pic]. En déduire que [pic].
4. Déterminer l'image de A' par [pic]. En déduire l'image de (CA') par
[pic]. Que peut on dire de K ? 14 Réflexion - 2 Dans un repère orthonormé, une transformation T a pour expression
analytique:
[pic]
X' et Y' sont les coordonnées de l'image d'un point M(X ; Y)
1. Nous avons un carré DEFG dont les sommets sont :
D (3 ; 3) E(7 ; 3) F(7 ; 7) G (3 ; 7)
Calculer les coordonnées de H, I, J et K images de D, E, F, et G dans la
transformation T.
Démontrer que HIJK est un carré et qu'il a les mêmes dimensions que DEFG.
En supposant que la transformation T est une symétrie orthogonale,
construire son axe.
2. a. Déterminer l'ensemble des points invariants dans la transformation T.
Soit () l'ensemble trouvé.
b. Montrer que pour tout point M d'image M', le vecteur [pic] a une
direction fixe et que cette direction est perpendiculaire à celle de
([pic]).
c. Soit M(X ; Y) quelconque, calculer les coordonnées de m milieu de [MM']
en fonction de X et Y. Montrer que m appartient à ().
d. Pouvez vous en déduire que la transformation T est une symétrie
orthogonale d'axe ([pic]) ? 15 Rotation On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormé [pic] la rotation
R de centre O, d'angle [pic].
1. Soit M un point de coordon