OSCILLATEUR SOLIDE RESSORT

Nouvelle Calédonie 03/2005 EXERCICE III OSCILLATEUR SOLIDE -
RESSORT (5,5 points) Le but de cet exercice est de vérifier l'accord entre l'expérience et la
théorie dans le cas des oscillations libres d'un système solide-ressort
horizontal. Étude expérimentale : Au laboratoire on filme, avec une caméra numérique, les oscillations libres
d'un solide de masse m. Ce solide est attaché à deux ressorts identiques à
spires non jointives, de constante de raideur k1, et il est posé sur un
banc à coussin d'air horizontal (figure 1). m = 54,0 g, la masse des ressorts est négligeable et k1 = 12,0 N.m-1.
Les deux ressorts restent tendus pendant toute l'expérience. Une règle
graduée horizontale est placée à la verticale au dessus du banc. Lorsque le
système solide-ressorts est en équilibre, la soufflerie du banc étant en
fonctionnement, le point A repéré sur le solide est à la verticale du zéro
de la règle graduée (figure 1). On écarte alors le solide vers la gauche et
on l'abandonne sans vitesse initiale. Le point A oscille entre les
positions B et C ; on filme les oscillations (figure 2). La fréquence d'enregistrement des images est égale à 25 images par seconde.
La caméra est placée dans le même plan horizontal que le banc, à une
distance d de celui-ci, grande devant la distance BC. Son axe optique (ou
axe de visée) en pointillés sur la figure 2 est perpendiculaire au banc et
passe par A lorsque le système est à l'équilibre.
Un logiciel approprié permet de pointer les différentes positions du point
A sur l'écran vidéo entre ses deux positions extrêmes B et C.
On commence le pointage un peu avant le premier passage du point A à la
verticale du point O et on le poursuit un peu après son troisième passage à
la verticale du point O. Le fichier de données est transféré vers un
tableur qui permet de modéliser et d'afficher la courbe x = f(t), x étant
l'abscisse du point A par rapport à l'origine O. On obtient le graphe n°1
de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. L'origine des dates t = 0 s correspond au passage du point A à la première
position enregistrée. 1. Étude théorique du mouvement du solide Dans cette étude tous les frottements sont négligés.
On peut modéliser un oscillateur mécanique horizontal par un système solide-
ressort constitué d'un solide de masse m, fixé à l'extrémité d'un seul
ressort à spires non jointives, de masse négligeable et de constante de
raideur k.
La position du centre d'inertie G du solide est étudiée dans un référentiel
terrestre considéré comme galiléen et repérée par son abscisse x(t) sur un
axe horizontal x'Ox. L'origine des abscisses correspond à l'abscisse de G
lorsque le solide est à l'équilibre. Le solide est mis en oscillation. La période propre des oscillations est
T0.
1.1. Forces exercées sur le solide en mouvement.
1.1.1. On note [pic]la force exercée par le ressort sur le
solide.
Pour une position quelconque du solide, nommer les trois forces
qui s'exercent sur ce solide. Les représenter au centre
d'inertie G, sans souci d'échelle, sur le schéma n°1 de l'ANNEXE
À RENDRE AVEC LA COPIE.
1.1.2. En rappelant l'expression du vecteur force [pic]en
fonction de l'allongement x, vérifier mathématiquement que cette
force a bien le sens attendu lorsque le centre d'inertie G se
trouve à droite de la position d'équilibre sur le schéma n°1 de
l'ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE. 1.2. Équation différentielle du mouvement du solide. 1.2.1. En appliquant la deuxième loi de Newton au solide, établir
l'équation différentielle du mouvement de son centre d'inertie G. 1.2.2. Sachant que la solution générale de l'équation différentielle
est de la forme : [pic]
montrer que l'expression de la période propre T0 de
l'oscillateur est : T0 = [pic].
1.2.3. Vérifier l'homogénéité de l'expression de la période
propre T0 par une analyse dimensionnelle.
2. Retour à l'expérience On rappelle qu'il est équivalent dans cette étude de considérer le
mouvement d'un point A quelconque repéré sur le solide en translation ou
celui du centre d'inertie G du solide. 2.1. Représenter les grandeurs expérimentales T0exp et Xm,exp par des
segments en trait épais sur chacun des deux axes de la courbe x = f(t)
(graphe n°1 de l'ANNEXE A RENDRE AVEC LA COPIE). 2.2. Déterminer les valeurs expérimentales de l'amplitude Xm,exp et de la
période propre T0exp des oscillations du mouvement du solide à partir du
résultat de la modélisation de la courbe donnée dans l'ANNEXE À RENDRE AVEC
LA COPIE. Justifier.
2.3. Les deux ressorts de constante de raideur k1 sont équivalents à un
seul ressort de raideur k = 2k1. L'expression de la période propre T0
trouvée dans l'étude théorique reste valable dans le cas de deux ressorts
initialement tendus.
Calculer à partir des résultats de l'étude théorique la période propre
T0 des oscillations.
2.4. Comparer les deux valeurs de la période propre en calculant l'écart
relatif [pic] 3. Aspect énergétique en l'absence de frottements Le système solide-ressort est toujours supposé osciller sans frottement.
Dans le modèle d'oscillateur adopté, le choix des états de référence est
tel que :
. L'énergie potentielle de pesanteur est nulle à l'altitude du centre
d'inertie G ;
. L'énergie potentielle élastique est nulle lorsque l'allongement du
ressort est nul.
3.1. Rappeler l'expression de l'énergie mécanique Em du système solide-
ressort horizontal dans le champ de pesanteur à la position d'abscisse x
quelconque, en fonction de m, k, x et v la valeur de la vitesse du
centre d'inertie G dans le référentiel terrestre. 3.2. Soit Vm la valeur maximale de la vitesse atteinte par le centre
d'inertie G pour les oscillations d'amplitude Xm étudiées.
En traduisant la propriété de l'énergie mécanique donnée au 3.1.,
montrer que : Vm[pic]
3.3. Calculer la valeur de la vitesse maximale du mobile pour une
amplitude de 4,3 cm et une période propre de 0,30 s. 3.4. En vous aidant du graphe n°1, indiquer dans les cases grisées du
graphe n°2 de l'ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE :
. la durée désignée par la double flèche, en fonction de T0 ;
. Les énergies : Em, EP (énergie potentielle élastique) et EC (énergie
cinétique).
4. Aspect énergétique en présence de frottements Le système solide-ressort est toujours supposé osciller, mais désormais on
tient compte des frottements. 4.1. De quel régime s'agit-il dans le cas où l'on observe toujours des
oscillations bien que l'on ne puisse plus négliger les frottements ?
Comment nomme-t-on le temps caractéristique T correspondant ? 4.2. Soit Em0 la valeur de l'énergie mécanique de l'oscillateur lâché sans
vitesse initiale avec un allongement maximum initial Xm0.
4.2.1. Établir l'expression de l'énergie mécanique Em0 en
fonction de l'allongement maximum initial Xm0. 4.2.2. On constate expérimentalement qu'au bout d'une
oscillation, l'amplitude du mouvement est divisée par r
(nombre réel positif non nul).
Établir l'expression du rapport de l'énergie mécanique
correspondante Em1 à l'énergie mécanique initiale Em0 en
fonction de r.
ANNEXE EXERCICE III
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règle graduée (vue de profil) O A solide (m) ressort 1 ressort 2 banc à coussin d'air horizontal Figure 1 d B C A banc caméra (vue de dessus
à un instant de date t) Figure 2 (k) G (m) O x(t) [pic] E x x' x' x E [pic] x(t) O G (m) (k) Schéma n°1 La modélisation de cette courbe donne: x = a. cos(b.t + c)
avec : a= 4,25(10-2 m, b = 21,18 rad.s-1 et c = 4,71 rad. t (en s) Graphe n°1: x (en m) O x = f(t) Graphe n°2 : Énergie O t (s)