Bac maths S 2008 - Amérique du Nord - Descartes et les ...

Bac S 2008 - Amérique du Nord Suites - Suites et intégrales - Géométrie dans l'espace et barycentre -
Complexes et rotations - arithmétique. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2008/bac_s_amerique_2008.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2008
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de
recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation
des copies. EXERCICE 1 (5 points) Commun à tous les candidats Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, [pic],
[pic]) unité graphique : 4 cm.
On considère le point A d'affixe zA = 2 + i et le cercle (() de centre A et
de rayon [pic]. 1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l'exercice. 2. a. Déterminer les affixes des points d'intersection de (() et de l'axe
(O, [pic]).
b. On désigne par B et C les points d'affixes respectives zB =1 et zC =3.
Déterminer l'affixe zD du point D diamétralement opposé au point B sur le
cercle (().
3. Soit M le point d'affixe [pic] + [pic]i.
a. Calculer le nombre complexe [pic].
b. Interpréter géométriquement un argument du nombre [pic] ; en déduire que
le point M appartient au cercle ((). 4. On note ((') le cercle de diamètre [AB].
La droite (BM) recoupe le cercle ((') en un point N.
a. Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles.
b. Déterminer l'affixe du point N.
5. On désigne par M' l'image du point M par la rotation de centre B et
d'angle - [pic].
a. Déterminer l'affixe du point M'.
b. Montrer que le point M' appartient au cercle ((').
EXERCICE 2 (5 points) Enseignement obligatoire Partie A On considère deux points A et D de l'espace et on désigne par I le milieu
du
segment [AD].
1. Démontrer que, pour tout point M de l'espace, [pic]?[pic]= MI2 - IA2.
2. En déduire l'ensemble (E) des points M de l'espace, tels que [pic]?[pic]
=0. Partie B : Dans l'espace rapporté au repère orthonormal (O, [pic], [pic], [pic]), les
points A, B, C
et D ont pour coordonnées respectives :
A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 6 ; 0),C(0 ; 0 ; 4) et D(-5 ; 0 ; 1). 1. a. Vérifier que le vecteur [pic][pic] est normal au plan (ABC).
b. Déterminer une équation du plan (ABC). 2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (,
orthogonale au plan (ABC) passant par D.
b. En déduire les coordonnées du point H, projeté orthogonal de D sur le
plan (ABC).
c. Calculer la distance du point D au plan (ABC).
d. Démontrer que le point H appartient l'ensemble (E) défini dans la partie
A. EXERCICE 2 (5 points) Enseignement de spécialité L'espace est rapporté au repère orthonormal (O, [pic], [pic], [pic]).
On nomme (S) la surface d'équation x2 + y2 - z2 = 1. 1. Montrer que la surface (S) est symétrique par rapport au plan (xOy). 2. On nomme A et B les points de coordonnées respectives (3 ; 1 ; - 3) et (-
1 ; 1 ; 1).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par
les points A et B.
b. Démontrer que la droite (D) est incluse dans la surface (S). 3. Déterminer la nature de la section de la surface (S) par un plan
parallèle au plan (xOy). 4. a. On considère la courbe (C), intersection de la surface (S) et du plan
d'équation z = 68. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.
b. M étant un point de (C), on désigne par a son abscisse et par b son
ordonnée.
On se propose de montrer qu'il existe un seul point M de (C) tel que a et b
soient de entiers naturels vérifiant a < b et ppcm(a ; b)= 440, c'est-à-
dire tel que (a, b) soit solution du système
(1) : [pic]
Montrer que si (a, b) est solution de (1) alors pgcd(a ; b) est égal à 1 ou
5.
Conclure. Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou
d'initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
EXERCICE 3 (6 points) Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1 ; +?[ par
f (x) = lnx - [pic].
On nomme (C) la courbe représentative de f et ( la courbe d'équation y =
lnx dans un repère orthogonal (O, [pic], [pic]). 1. Étudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et
en +?. 2. a. Déterminer [pic][ f (x)-lnx].
Interpréter graphiquement cette limite.
b. Préciser les positions relatives de (C ) et de (. 3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C ) passant par le
point O.
a. Soit a un réel appartenant à l'intervalle ]1 ; +?[.
Démontrer que la tangente Ta à (C ) au point d'abscisse a passe par
l'origine du repère si et seulement si f (a) - a f '(a) = 0.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]1 ; +?[ par g(x) = f (x) - x
f '(x).
b. Montrer que sur ]1 ; +?[, les équations g(x) = 0 et (lnx)3 - (lnx)2 -
lnx - 1 = 0 ont les mêmes solutions.
c. Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur R par u(t
) = t 3 - t 2 - t - 1 montrer que la fonction u s'annule une fois et
une seule sur R.
d. En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe (C) passant par
le point O.
La courbe (C) et la courbe ( sont données en annexe.
Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure. 4. On considère un réel m et l'équation f (x) = mx d'inconnue x.
Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du
réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle
]l ; 10].
EXERCICE 4 (4 points) Commun à tous les candidats On considère les suites (xn) et (yn) définies pour tout entier naturel n
non nul par :
xn =[pic] et yn = [pic]. 1. a. Montrer que la suite (xn) est à termes positifs.
b. Étudier les variations de la suite (xn).
c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (xn) ? 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, xn ( [pic].
b. En déduire la limite de la suite (xn). 3. a. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout
entier naturel n non nul,
xn+1 = - (n +1)yn + sin(1).
b. En déduire que [pic]yn = 0. 4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, yn+1 = (n+1)xn -
cos(1).
Déterminer l[pic]nxn et [pic]nyn.
Annexe Cette page est à compléter et à remettre avec la copie à la fin de
l'épreuve Exercice 3 Représentations graphiques obtenues à l'aide d'un tableur
[pic]