Exercice n°1 : du système à sa modélisation 9 pts

Polynésie 09/2008 Exercice n°1 : du système à sa modélisation (9
points)
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I. Modélisation des ondes sismiques.
1.1. Pour les ondes mécaniques P, la direction de la perturbation et la
direction de la propagation est la même, il s'agit d'une onde
longitudinale. Par contre pour les ondes S, la direction de la propagation
est perpendiculaire à la direction de la perturbation, il s'agit d'une onde
transversale. 1.2. Dans le texte, on nous dit que les ondes P sont plus rapides que les
ondes S, la célérité peut être une grandeur à utiliser pour comparer la
propagation des deux ondes.
2.1. La perturbation a parcouru la distance OM, en une durée (t = t1 - t0.
Alors v = [pic]. 1,00 m correspond à 4,0 cm sur le schéma
OM = ? m correspond à 10,0 cm sur le schéma
Ainsi OM = 10,0/ 4,0 = 2,5 m.
v = [pic] = 13 m.s-1 (12,5 arrondi avec 2 chiffres
significatifs = 13)
2.2. La célérité dépend du milieu de propagation, la tension de la corde va
modifier ce milieu, donc la célérité de l'onde dépend de la tension de la
corde mais pas de l'amplitude de la perturbation.
2.3. ( = [pic]
( = [pic] = 0,080 s (calcul effectué avec la valeur non arrondie de
v) 2.4. Observons le point M : à l'instant t = 0,20 s, le front de la
perturbation atteint ce point M. Il va descendre, puis remonter. Le point N
a eu précédemment ce même mouvement, puisqu'il a subi la même perturbation.
3. T = [pic]
T = [pic] = 1,00(10-2 s
( = [pic]
( = [pic]= 0,125 m = 0,13 m II. Modélisation de la décroissance radioactive.
2.1. Le radon 220 a un numéro atomique Z = 86, il possède donc 86 protons.
Son nombre de nucléons est A = 220, il possède donc 220 - 86 = 134
neutrons.
2.2. [pic][pic]+ [pic]
2.3. 2.4. On trace la tangente à la courbe à la date t = 0 s, elle coupe l'axe
des abscisses pour t = (.
On lit ( = 1,0 min.
( = [pic] ( = [pic] = 1,7×10-2 s-1
2.5. D'après la loi de décroissance radioactive, on a n(t) = n0.e-(.t. La
modélisation donne
n(t) = 450.e-0,012.t avec t en s.
Par identification ( = 1,2(10-2 s-1.
2.6. n(t1/2) = n0/2 = n0. [pic]
1/2 = [pic]
ln(1/2) = ln([pic])
-ln2 = -(.t1/2
Soit ( = [pic].
Par mesure graphique on avait t1/2 = 0,8 min,
( = [pic] = 1,4×10-2 s-1.
Bilan : méthode graphique de la tangente à l'origine : ( = 1,7(10-2 s-1,
modélisation par l'ordinateur : ( = 1,2(10-2 s-1,
méthode graphique avec t1/2 : ( = 1,4×10-2 s-1.
Les trois méthodes donnent des valeurs différentes, mais du même ordre de
grandeur.
(L'ordinateur donne la valeur la plus proche de la réalité. La méthode
graphique de la tangente à l'origine est la moins précise). 2.7. L'activité d'un échantillon est le nombre moyen de désintégrations
qu'il produit par seconde. Elle s'exprime en becquerel (Bq).
III. Modélisation de la charge d'un condensateur.
3.1. L'armature A du condensateur est chargée positivement : i(t) = [pic]
3.2. Par définition de la tension aux bornes d'un condensateur, on a : q(t)
= C.u(t).
3.3. En appliquant la loi d'additivité des tensions dans le circuit ci-
contre, on a E = uR + u
En appliquant la loi d'Ohm : E = R.i + u
E = R. [pic] + u
Or q(t) = C.u(t), donc [pic] = [pic] = C. [pic] car C = Cte.
Il vient alors : E = R.C. [pic] + u
3.4. Une solution de cette équation est de la forme : u(t) = E.(1 - e-t/()
Par identification E = 5,0 V et 1/( = 1 / R.C = 100 s-1
3.5. Pour t = (, u(() = E.(1 - e-
(/( )= E.(1 - e-1)
u(() = 5,0 ( 0,63 = 3,2 V
( correspond au point
d'ordonnée 3,2 V
( = 10 ms.
Valeur théorique : ( = R.C
( = 1,0(103 ( 10(10-6
( = 1,0(10-2 s = 10 ms
Les deux valeurs sont
cohérentes.
IV. Modélisation d'une chute avec frottement.
4.1. Dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, la bille est
soumise à son poids [pic], à la poussée d'Archimède [pic] et aux forces de
frottement [pic]. Remarque : les forces sont représentées
sans souci d'échelle et décalées afin de mieux
les distinguer.
4.2. Appliquons la deuxième loi de Newton
au système : [pic] + [pic]
+ [pic] = m.[pic]
Soit [pic] le vecteur unitaire sur l'axe(
Oz),
P. [pic] - F. [pic] - f. [pic] = m.a[pic]
Par projection sur (Oz) :
m.g - (.V.g - k.v = m.[pic]
g - [pic] - [pic].v = [pic]
g.(1 - [pic]) - [pic].v = [pic]
Avec a = g.(1 - [pic]) et b = [pic], on a effectivement l'équation
différentielle de la forme a - b.v = [pic].
Vérifions les valeurs numériques de a et b :
a = 9,81 ( (1 - [pic]) = 8,17 m.s-2 = 8,2 m.s-2 convertir V en
m3
b = [pic] = [pic]
b = [pic] = 8,67 s-1 = 8,7 s-1 convertir R en m
4.3. On détermine la vitesse limite à l'aide du graphique.
Lorsque la vitesse limite est atteinte, la vitesse est constante donc [pic]
= 0.
D'après l'équation différentielle, on a a - b.vlim = 0. Donc vlim = [pic].
vlim = [pic] = 0,94 m.s-1. Les deux valeurs obtenues pour la vitesse limite
sont égales.
V. Modélisation et longitude.
5.1. v = [pic]
v = [pic]
v = 3,89(103 m.s-1 = 3,89 km.s-1
Le satellite parcourt son orbite de périmètre 2((RT+h) en une durée égale à
sa période T.
v = [pic], donc T = [pic]
T = [pic] = 4,26(104 s
5.2. Le récepteur GPS est situé au niveau du sol, les ondes parcourent la
distance h, à la célérité c :
c = [pic], donc t = [pic]
t = [pic] = 6,7(10-2 s
5.3. Pour parcourir une distance d'un centimètre, les ondes mettent une
durée (t.
c = [pic], soit (t = [pic].
(t = [pic] = 3(10-11 s, cette valeur est supérieure à la « précision » des
horloges qui est
de 10-12 s. La précision est suffisante. 5.4. E = h. (
E = 6,63.10-34 ( 9192631770
E = 6,09(10-24 J.
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x M 1,00 m N O B u E i R C [pic][pic] uR [pic] t (en s) O 0,080 t1/2 t1/2 correspond à la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux
initialement présents dans l'échantillon se sont désintégrés. Le nombre de
noyaux présents est proportionnel au nombre de désintégrations.
Initialement il y a 450 désintégrations, t1/2 va correspondre à 225
désintégrations, soit t1/2 = 0,8 min. [pic] [pic] [pic] z O nb(0)/2 ( + - ( vlim 5 div ( 1 m.s-1 ( 5,3 cm
vlim ( 5,0 cm soit vlim = 5,0/5,3 = 0,94 m.s-1 5,0 cm 5,3 cm