Moment d'inertie par rapport à un axe ( )

Moment d'inertie par rapport à un axe (?)
La masse inertielle m d'une particule est la mesure de son inertie de
translation. Elle représente l'opposition qu'offre un corps à voir changer
son état de mouvement de translation. En rotation, c'est le moment
d'inertie I d'un système qui représente la mesure de l'opposition qu'offre
ce système à voir changer son état de mouvement de rotation autour d'un axe
.
1-définitions :
a-moment d'inertie d'une masse ponctuelle :
Par définition le moment d'inertie I?, par rapport à un axe ?, d'un point
matériel de masse m située à une distance r de ? est :
[pic] b- moment d'inertie d'un système de points :
Un système de N points matériels de masses mi, distants de ri de l'axe ?,
aura pour moment d'inertie par rapport à ? :
[pic]
Le moment d'inertie d'une distribution de masse par rapport à un axe est
égal à la somme des produits de chaque élément de masse mi par le carré de
la distance ri de cet élément à l'axe : I = ? mi ri2
Dans le cas d'un corps solide constitué d'une infinité de points matériels,
nous passerons à la limite suivante :
[pic]
2-Exemples :
a/Moment d'inertie d'un cerceau par rapport à l'axe de rotation :
Le cerceau est supposée homogène de masse linéaire ?.
Décomposons la circonférence en petits éléments de jante de masse dm situés
tous à la distance r de l'axe.
dm=?.ds=?.r.d?. (avec ? = masse linéaire de la jante)
Moment d'inertie élémentaire : dI?=dm.r2=?.r3.d?.
Soit :[pic]
Ici, le calcul est simple puisque r est constant, il peut être sorti de
l'intégrale
La masse totale de la jante est : M=2.?.r.? . on a donc I?=Mr2.
b/moment d'inertie d'une barre de longueur L, par rapport à un axe
perpendiculaire à la barre et passant par son centre:
[pic]
La barre est homogène de masse linéaire ?
[pic](avec M = ?L) c/moment d'inertie d'un cylindre de rayon R et de longueur L par rapport à
l'axe de symétrie longitudinal.
Le moment d'inertie du cylindre est la somme des moments d'inertie des
volumes élémentaires (en jaune) situés à distance r de l'axe de rotation
[pic]
[pic](avec M = ??R2L)
3-Théorème d'Huyghens :
Le moment d'inertie d'un solide, par rapport à un axe (?1), est égal au
moment d'inertie de ce solides par rapport à un axe ?G , parallèle à ?1,
passant par le centre de gravité augmenté du produit Md2 (M étant la masse
du solide et d la distance entre les deux axes)
|I? = I?G + Md2|
Par exemple, calculons le moment d'inertie d'une barre par rapport à l'axe
passant par une de ses extrémités et parallèle à ?.
[pic]
[pic]
Le moment d'inertie d'un cylindre par rapport à une génératrice ?1
[pic]
ici : d=R/2
[pic]
Moment d'inertie par rapport à un point
Le moment d'inertie d'un corps par rapport à un point O est égal à la demi-
somme de ses moments d'inertie par rapports à trois axes perpendiculaires
(Ox, Oy, Oz) passant par le point O.
|IO = ( IOx + IOy + IOz )|
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