Arithmétique

DM n°5 - 2nde4 - Corrigé Exercice 1
f est une fonction affine, donc s'écrit sous la forme f(x) = ax+b.
Pour déterminer a :
[pic]
[pic]
Pour déterminer b :
[pic]
[pic]
Exercice 2
a) La représentation graphique de f passe par le point A de coordonnées (-
3 ; 4) signifie que f(-3) = 4. De même, elle passe par B(2 ; 3), donc
f(2) = 3.
On utilise donc la même méthode que précédemment :
[pic]
[pic]
La représentation graphique de g passe par le point C de coordonnées (-
2 ; -1) signifie que g(-2) = -1. De même, elle passe par D(1 ; 1), donc
g(1) = 1.
On utilise donc la même méthode que précédemment :
[pic]
[pic]
b) Il faut construire les tableaux de valeurs :
|x |0 |3 | |x |1 |-4 |
|y=h(x)|-2 |-1 | |y=i(x)|1 |3 |
Pour la fonction h, il suffit de prendre pour x des multiples de 3 pour
obtenir des valeurs de y entières, mais pour la fonction i, il faut
réfléchir davantage aux valeurs de x à choisir. On place ensuite les
points et on trace les deux droites.
Exercice 3
Correction rapide (à vous de refaire les calculs et les tableaux de
signes pour réviser si certaines résolutions sont fausses) :
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
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Enigme 1
f est une fonction affine, donc il existe deux réels a et b tels que f(x)
= ax+b.
Alors f(f(x)) = a(ax+b)x+b = a²x+ab+b. Or, on veut que f(f(x)) = 4x-3,
Donc a² = 4 et ab+b = -3.
Si a² = 4, alors a = 2 ou a = -2.
Si a = 2 alors ab+b = 2b+b = -3 et b = -1.
Si a = -2 alors ab+b = -2b+b = -3 et b = 3.
Il y a donc deux fonctions affines qui répondent au problème :
f(x) = 2x-1 et f(x) = -2x+3.
Enigme 2
Une fonction affine a toujours le même sens de variation : soit
strictement croissante, soit strictement décroissante, soit constante.
f(1)[pic]f(2) (et 1[pic]2) donc f est croissante, f(3)[pic]f(4) (et
3[pic]4) donc f est décroissante. Ces deux condition ne sont remplies que
si f est constante. Et comme f(5) = 5, alors f est constante et égale à
5.
Donc pour tout réel x, f(x) = 5.