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Baccalauréat de l'enseignement général
Madagascar
Session 2005
Mathematiques - Série : A N. B : - Le candidat doit traiter les DEUX Exercices et le
Problème. - Machine à calculer autorisée. EXERCICE 1 (5 points)
corrigé
Soient la suite numérique (Un)n(IN définie par la donnée de U0 = 10 et
la relation de récurrence : [pic] pour tout n [pic] 1 et (Vn)n(IN la
suite définie pour tout n par :
Vn = ln[Un + 2]. 1) Calculer U1 , V0 et V1.
(1,5 pt)
2) a/ Montrer que pour tout n élément de IN Vn+1 = ln[pic].
(1,0 pt)
b/ En déduire que (Vn)n(IN est une suite arithmétique de raison r = -
ln2. (1,0 pt) Préciser le sens de variation de (Vn)n(IN.
(0,5 pt) 3) Exprimer Vn en fonction de n.
(0,5 pt) 4) Exprimer Un en fonction de Vn puis en fonction de n.
(0,25+0,25pt)
EXERCICE 2 (5 points)
corrigé Une urne contient dix jetons :
- deux jetons numérotés chacun par 1
- trois jetons numérotés chacun par 2
- quatre jetons numérotés chacun par 3
- un jeton numéroté par 4.
1) On tire au hasard et simultanément trois jetons de l'urne.
a/ Quelle est la probabilité d'amener trois jetons portant chacun le
numéro 3 ? (0,5 pt)
b/ Quelle est la probabilité d'obtenir trois jetons portant chacun un
numéro impair ? (1,0 pt)
c/ Quelle est la probabilité d'amener la somme des numéros notés sur les
trois jetons
tirés à 10 ?
(1,0 pt)
2) On tire successivement et sans remise trois jetons de l'urne.
On suppose que les événements élémentaires sont équiprobables.
a/ Trouver le nombre de cas possibles.
(0,5 pt)
b/ Evaluer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Les trois jetons tirés portent le même numéro »
(1,0 pt)
B : « Obtenir le jeton numéroté par 4 au dernier tirage ».
(1,0 pt) PROBLEME (10 points)
corrigé Soit la fonction numérique f définie sur IR par f(x) = 4x2e2X , (C)
sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; [pic]) (unité :
4cm)
1°) a/ Calculer [pic] et [pic] .
(0,5+0,5 ; 0,5+0,5pt)
b/ Interpréter graphiquement les résultats précédents.
(0,5 ; 0,5pt)
c/ En admettant que [pic]= 0 et en remarquant que f(x) = [ 2x ex
] 2.
Calculer [pic].
(0,5 ; 0,5pt)
2°) a/ Montrer que pour tout x élément de IR : f '(x) = 8x(x + 1)e2x.
(1,0 ; 1,0pt)
En déduire le signe de f '(x) suivant les valeurs de x.
(1,0 ; 0,5pt)
b/ Compléter le tableau des valeurs ci-dessous.
(1,0 ; 1,0pt) |x |- 1 |- [pic] |0 |[pic] |
|f(x) | | | | |
c/ Dresser le tableau de variation de f.
(2,0 ; 1,5pt)
3°) a/ Trouver une équation de la tangente à la courbe (C) au point
d'abscisse [pic]. (1,5 ; 1,0pt)
b/ Tracer (C) dans le repère (O ; [pic]).
(1,5 ; 1,0pt) Pour A2 seulement 4°) Soit la fonction F définie sur IR par : F(x) = (2x2 - 2x + 1)e2X.
a/ Calculer F '(x). ( ;
1,0pt)
b/ Calculer en cm2, l'aire de la partie du plan limitée par (C),
les droites d'équations respectives x = -1 et x = 0 et l'axe des
abscisses (x'Ox). ( ; 1,0pt) On donne : e-2 ? 0,16 e-1 ? 0,40 e ? 2,70 -----------------------
[pic]