1ère S Géométrie dans l'espace - Exercices corriges

1ère S3 Corrigé des exercices du cours
Géométrie dans l'espace
Rappels Pour vérifier les acquis VRAI - FAUX
Pour chacune des affirmations suivantes, notez V dans la case qui la
précède si vous êtes certain qu'elle est vraie et notez F si vous êtes certain qu'elle est fausse ; 1)Trois droites concourantes sont toujours coplanaires. Faux, on suppose
que l'une d'entre elles est l'intersection de deux plans ,contenant chacun
l'une des deux autres droites. 2) Deux droites parallèles à un même plan sont parallèles. Faux, et si
elles ne sont pas coplanaires ? 3) Deux droites parallèles sont coplanaires. Vrai, par définition. 4) Deux droites orthogonales sont coplanaires. Faux, elles n'ont pas besoin
d'être dans le même plan, ce sont leur parallèles qui le sont. 5) Les points K, L et M sont alignés. Faux. Les points M et K
appartiennent à la face (ABC) ,alors que L, non ! On ne peut donc pas
tracer de droites contenant ces trois points 6) Les points A, D et K sont coplanaires. Vrai car A est le point
d'intersection entre les droites (AD) et (AK), et donc ces deux droites
définissent le plan (ADK). 7) Faux : I appartient au plan (ABC), ce qui n'est pas le cas de J,
alors Les droites ( BC ) et ( IJ ) ne sont pas parallèles. 8) . Vrai. L appartient naturellement au plan (BLC) ,de plus, L
appartient à la droite (AD), incluse dans le plan (AKD). K appartient naturellement au plan (AKD), de plus, K appartient à la
droite (BC), incluse dans le plan (BLC). Conclusion : La droite (KL) est la
droite d'intersection des plans (AKD) et (BLC).
Livre page 234 Vecteurs de l'espace
2 Exercices 1. Droites et plans de l'espace Exercice 1 On considère une pyramide SABCD dont la base ABCD est
un parallélogramme.
I, J, K et L sont les milieux respectifs des
segments [SA], [SB], [SC] et [SD].
On note : [pic] , [pic] et [pic].
1. Identifier chacune des droites suivantes :
D[pic] est la droite (SA),
D[pic]est la droite (DC)
D[pic]est la droite (KL).
D[pic]est la droite (AC) et
D[pic]est la droite (BD).
2. Compléter par un vecteur exprimé à l'aide des vecteurs [pic],[pic] et
[pic] :
[pic]D[pic], [pic]D[pic], [pic]D[pic],[pic]D[pic].
3. Déterminer par trois points non alignés parmi S, A, B, C, D, I, J, K et
L chacun des plans
suivants :
P [pic]est le plan (SAB)
P [pic] est le plan (CAB) ou même avec D
P [pic] est le plan (SAC)
P [pic] est le plan (SCB)
4. Exprimer en fonction de [pic], [pic] et [pic] un couple de vecteurs
directeurs de chacun des plans
suivants :
[pic]admet pour vecteurs directeurs [pic],[pic]et[pic]( on pourrait
écrire : [pic])
[pic] admet pour vecteurs directeurs [pic],[pic] et[pic]
[pic] admet pour vecteurs directeurs [pic],[pic] et[pic]
[pic] admet pour vecteurs directeurs [pic],[pic] et[pic]
2. Vecteurs coplanaires Exercice 2 On considère le cube ABCDEFGH.
a. Les vecteurs [pic], [pic] et [pic] sont-ils coplanaires ?
A est le point d'intersection entre les droites (AE) et (AG), alors ces
deux droites définissent le plan ( AEG) : la réponse est donc oui. b. Même question avec les vecteurs [pic], [pic] et [pic]. D'après les propriétés du cube , on peut écrire : [pic]
Et donc, les vecteurs [pic], [pic] et [pic]sont coplanaires. c. Montrer que les vecteurs [pic], [pic] et [pic] ne sont pas
coplanaires. Les vecteurs [pic], [pic] déterminent le plan ( AEH) car [pic]=[pic].
Or le point F appartient au plan (BCF), qui est parallèle à ( AEH).
Conclusion : les vecteurs [pic], [pic] et [pic] ne sont pas coplanaires.
[pic]
Exercice n°15 page 248 3. Parallélisme de droites : TD n°5 page 243
4. Parallélisme d'une droite et d'un plan Exercice 3 ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AD], J celui de [BC] .
E est le point défini par [pic], et M est le point défini par [pic].
1. a. Faire une figure et placer les points E et M.
Pour construire le point E, on utilise la règle du parallélogramme : [pic].
Pour construire le point M : [pic]
b. Démontrer que la droite [pic]est parallèle au plan[pic].
On utilise la propriété.
On sait depuis le 1°) que [pic]
Les vecteurs [pic] sont colinéaires, donc : la droite [pic]est
parallèle au plan[pic]. 2. a. On considère les vecteurs [pic], [pic] et [pic].
Calculer [pic]. En déduire que les vecteurs [pic], [pic] et [pic] sont
coplanaires. [pic]. Donc : [pic].
Ce que l'on peut écrire, par exemple : [pic], c'est-à-dire que les vecteurs
[pic], [pic] et [pic] sont coplanaires. b. Justifier que la droite [pic] est parallèle au plan [pic]. En fait, on parle du plan[pic]. Or la droite (BC) peut être définie ainsi :
[pic].
Or, les vecteurs [pic], [pic] et [pic] sont coplanaires. Alors, la droite
[pic] est parallèle au plan [pic]
3. a. G est le centre de gravité du triangle ABC. Exprimer les vecteurs
[pic]et [pic]
en fonction des vecteurs [pic]et [pic]. On utilise la règle du parallélogramme : [pic].
Pour [pic],il faut partir de la définition du centre de gravité : [pic] [pic].Il faut faire intervenir [pic]. Si on regarde bien : [pic]( règle d
u...) Ainsi : [pic]
b. Que peut-on en déduire pour les points E, G et I ? D'après le résultat précédent, ces trois points sont alignés. c. Placer le point G sur la figure. [pic]
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[pic]