LES SYSTEMES DE NUMERATION

LES SYSTEMES DE NUMERATION 1) Base d'un système de numération La base d'un système de numération est le nombre de chiffres
différents qu'utilise ce système de numération. En électronique numérique,
les systèmes les plus couramment utilisés sont : le système binaire, le
système octal, le système décimal et le système hexadécimal.
Se rappeler que : a0 = 1. a) Système décimal C'est le système de numération décimal que nous utilisons tous les
jours. C'est le système de base 10 qui utilise donc 10 symboles différents
: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Un nombre N (entier positif) exprimé dans le système de numération
décimale est défini par la relation ci-dessous : N = an * 10n + an-1 * 10n-1 .............. + a0 * 100 (où an
est un chiffre de rang n) Exemple : N = (1975)10
N = 1 * 103 + 9 * 102 + 7 * 101 + 5 *100 Les puissances de 10 sont appelés les poids ou les valeurs de
position. Le poids est
égal à la base élevée à la puissance de son rang. | |Unité |Dizaine |Centaine |Milliers |10*Millie|100*Milli|
| | | | | |rs |ers |
|Chiffre |a0 |a1 |a2 |a3 |a4 |a5 |
|Rang |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
|Poids |100 |101 |102 |103 |104 |105 | Exercice :
* N = (6281)10 = * N = (1967)10 = * N = 2 * 104 + 8 * 103 + 4 * 102 + 2 * 101 + 9 *100 =
b) système binaire
Le système binaire est le système de base 2, c'est à dire qui utilise
deux symboles différents : le 0 et le 1. Chacun d'eux est appelé bit
(contraction de binary digit) ou élément binaire.
Dans ce système, le poids est une puissance de 2. Exemple : N = (10110)2
N = 1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20
N = (22)10 * Puissance de 2 :
|N |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
|8n |1 |8 |64 |512 |4096 |32768 | * notation d'un nombre octal : Un nombre octal peut être précédé du signe @ ou suivi de l'indice de base
(8) ou d'un Q. Exemple : @ 1672
(1672)8
1672 Q d) système hexadécimal Le système hexadécimal est de base 16 et utilise 16 symboles
différents : les dix premiers chiffres décimaux : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9 et les 6 premières lettres de l'alphabet : A, B, C, D, E, F.
La succession des nombres hexadécimaux par ordre croissant est la
suivante :
- 1 chiffre : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 0, 1, 2,
3.....etc.
- 2 chiffres : 00, 01, 02 ....., 09, 0A, 0B,....., 0F, 10, 11, 12,.....,
19, 1A, 1B.....etc. Les lettres A à F correspondent respectivement aux nombres décimaux
10 à 15. Dans ce système, le poids est une puissance de 16. Exemple : N = (AC53)16
N = A * 163 + C * 162 + 5 * 161 + 3 * 160
N = 10 * 163 + 12 * 162 + 5 * 161 + 3 * 160
N = (44115)10 * puissance de 16 : |n |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
|16n |1 |16 |256 |4096 |65536 |1048576 | * Notations des valeurs hexadécimales : Un nombre hexadécimal peut être précédé du signe $ ou suivi de l'indice de
base (16) ou de la lettre H. Exemple : $F6B1
(F6B1)16
F6B1 H Exercice : N = (F5D3)16 = N = (1F0B)16 = N = F * 163 + 0 * 162 + 8 * 161 + A * 160 =
* cadrage d'un nombre hexadécimal : C'est le nombre de quartets d'éléments binaires ou le nombre maximum
de chiffres hexadécimaux pris pour représenter un intervalle de valeurs.
Les quartets les plus significatifs du nombre sont situés à droite,
les moins significatifs sont situés à gauche et sont tous à 0.
* valeurs maximum et minimum d'un nombre hexadécimal : |nombre |valeur |valeur maximum |
|de chiffres |minimum |base 16 base |
| | |10 |
|1 |0 |$F |
| | |15 |
|2 |00 |$FF |
| | |255 |
|3 |000 |$FFF 4095|
|4 |0000 |$FFFF 65535|
|5 |000000 |$FFFFF |
| | |1048575 |
|6 |000000 |$FFFFFF |
| | |16777215 |
|7 |0000000 |$FFFFFFF |
| | |268435455 |
|8 |00000000 |$FFFFFFFF |
| | |4294967295 | 2) Changement de base a) tableau de correspondance entre nombre de différentes bases
|Décimal (base 10)|Binaire (base 2) |Octal (base 8) |Hexadécimal (base |
| | | |16) |
| |25 24 23 | | |
|0 |22 21 |0 |0 |
| |0000 | | |
|1 |0001 |1 |1 |
|2 |0010 |2 |2 |
|3 |0011 |3 |3 |
|4 |0100 |4 |4 |
|5 |0101 |5 |5 |
|6 |0110 |6 |6 |
|7 |0111 |7 |7 |
|8 |1000 |10 |8 |
|9 |1001 |11 |9 |
|10 |1010 |12 |A |
|11 |1011 |13 |B |
|12 |1100 |14 |C |
|13 |1101 |15 |D |
|14 |1110 |16 |E |
|15 |1111 |17 |F |
|16 |10000 |20 |10 |
|17 |10001 |21 |11 |
| | | | |
b) Conversion d'un nombre décimal en un nombre d'un système d'une
autre base
Problème : un nombre N étant donné en base 10, cherchons à l'écrire dans
un système de base b. Première méthode : Nous cherchons le plus grand multiple de la plus grande
puissance entière de b contenu dans N puis nous la retranchons de N ; il
faut recommencer le processus avec le reste obtenu et ainsi de suite. Exemple : conversion de N=( 3786 )10 en nombre hexadécimal (b=16).
( nous recherchons d'abord la plus grande puissance de 16 contenue dans N
:
3786 > 256 (162) et 3786 < 4096 (163 ) ( nous retenons donc : 162
( recherchons ensuite le plus grand multiple de 16 contenu dans N : N : 162 = 14.789
N = 14 * 162 + 202
( recommençons avec le reste et ainsi de suite jusqu'à l'obtention
d'un reste inférieur à 16 :
202 : 161 = 12.625
202 = 12 * 161 + 10 ( ce qui donne : N = 14 * 162 + 12 * 161 + 10 * 160 ( ou encore : N = E * 162 + C * 161 + A * 160
Donc : (3786)10 = (ECA)16
Deuxième méthode : Nous divisons le nombre décimal à convertir par la base
b et nous conservons le reste. Le quotient obtenu est divisé par b et nous
conservons le reste. S'il y a un reste, le résultat est égal à 1 sinon il
est égal à 0. Il faut répéter l'opération sur chaque quotient obtenu. Les
restes successifs sont écrits, en commençant par le dernier, de la gauche
vers la droite pour former l'expression de N dans le système de base b. Exemple : conversion de N = (3786)10 en un nombre du système binaire
(b=2).
3786 2 1893 2 0 1893 1 946 946 2 473 2 0 473 1 236 236 2 118 2 0 118 0 59 59 2 29 2
1 29 1 14
14 2 7 2 0 7 1 3 3 2 1 2 1 1 1 1
Le nombre binaire ainsi obtenu est : N = % 010100110111 c) autres conversions
* conversion d'un nombre octal en un nombre binaire : Chaque symbole du nombre écrit dans le système octal est remplacé par son
équivalent écrit dans le système binaire à trois bits (voir tableau de
correspondance ch.a) ). Exemple : N = (257)8 = % 010 101 111
2 5 7 * conversion d'un nombre binaire en un nombre octal : C'est l'opérati