TD Capes Thermo 04-05 n1.doc

Université de Rennes I préparation CAPES 2004-2005

U.F.R. S.P.M. Thermodynamique



Exercice 1 : Construction d'une équation d'état à partir des coefficients
thermoélastiques.
On définit le coefficient de dilatation isobare ( et le coefficient de
compressibilité isotherme (T par :

[pic] et [pic]

1) Que valent ces coefficients pour un gaz parfait ?

2) Les coefficients ( et (T d'un gaz réel ont été mesurés et trouvés de la
forme :

[pic] [pic]

Où A et B sont des constantes propres au gaz considéré.

a. Quelle est l'équation d'état à laquelle obéit ce gaz ?

b. Comment s'écrirait cette équation à très haute température et très
faible pression ?


Exercice 2 : Comparaison entre un gaz parfait et un gaz de van der Waals
Afin de prendre en compte les interactions qui s'exercent entre les
molécules qui constituent un gaz réel, Johannes van der Waals a proposé en
1873 le modèle d'équation d'état suivant :

[pic]

1. Comparer cette équation d'état à celle d'un gaz parfait. Quelle est la
signification physique des termes supplémentaires ?
2. On définit le facteur de compression d'un gaz par [pic] où Vm est le
volume molaire du gaz.
a) Que vaut le facteur de compression pour un gaz parfait ?


b) Estimer le volume molaire du dioxyde de carbone à 500 K et 100 atm en
le considérant comme un gaz de van der Waals (a = 3,592 atm.l2.mol-2,
b = 4,267(10-2 l.mol-1).


c) Calculer le facteur de compression du CO2 pris dans ces conditions et
comparer le à celui du gaz parfait. Le CO2 est il plus compressible ou
moins compressible qu'un gaz parfait ? Quelle est l'origine physique
de cet écart à la compressibilité du gaz parfait ? Selon vous comment
évoluerait Z aux très hautes pressions pour le CO2 ?



Exercice 3 : Gaz de Dieterici (d'après ENSI)
Un tel gaz a pour équation (pour une mole) :

[pic], avec a constante.
1. Donner les expressions des coefficients thermoélastiques ( (coefficient
de dilatation isobare) et ( (coefficient d'augmentation de pression
isochore) pour ce gaz.

2. Dans le domaine des faibles pressions, on peut utiliser une expression
du type :

[pic]

a) retrouver l'équation d'état du gaz parfait si V((.
b) Déterminer A par un développement limité au premier ordre en [pic].
c) Que deviennent ( et ( ?

Exercice 4 : Compression mono et bi étagée
A. Compression en une étape (« mono étagée »)
n moles de gaz parfait subissent les transformations réversibles
suivantes à partir de l'état initial i (Pi Ti) :
1) : adiabatique jusqu'à l'état A (PA > Pi, TA)
2) : isobare de l'état A à l'état final f (Pf = PA, Tf = Ti)

On définit le taux de compression global [pic]. On note [pic] le rapport
des chaleurs spécifiques molaires à pression et à volume constants et R la
constante des gaz parfaits. On rappelle que pour une transformation
adiabatique réversible d'un gaz parfait : [pic].

1. Représenter la suite des transformations (1) et (2) dans un diagramme
de Clapeyron (volume en abscisse, pression en ordonnée). Faites
figurer l'isotherme Ti sur ce diagramme.


2. a. Exprimer le travail de compression reçu par le gaz le long de
l'adiabatique i(A en fonction de R, n, (, Ti et TA.
b. Même question le long de l'isobare A(f.
c. Donner l'expression du travail total de compression [pic] en
fonction de R, n, (, Ti et (.
d. Représenter [pic] sur le diagramme précédent.

B. Compression en deux étapes (« bi étagée »)
On considère maintenant la nouvelle suite de transformations
réversibles suivantes :
1) : adiabatique de l'état i à l'état B (PA > PB > Pi, TB)
2) : isobare de l'état B à l'état C (PC = PB, TC = Ti)
3) : adiabatique de l'état C à l'état D (PD = PA, TD)
4) : isobare de l'état D à l'état f (Pf = PD, Tf = Ti)
On définit le taux de compression intermédiaire[pic] (on posera [pic]).


1. Représenter la suite des transformations sur le diagramme précédent.
Comparer graphiquement le nouveau travail total de compression [pic] à
l'ancien, quelle est l'économie réalisée ?
2. Exprimer le travail total de compression [pic] en fonction de R, n, (,
Ti, ( et x.
3. Quelle est en fonction de Pi et Pf la pression intermédiaire PB qui
minimise ce travail ?

Exercice 5 : modélisation d'une naine blanche
On admet que l'étoile nommée naine blanche peut être, du point
de vue thermodynamique de son rayonnement, considérée comme un ensemble
homogène de photons, de répartition isotrope, dans une enceinte dont le
volume V est celui de la naine blanche. La pression de radiation (pression
exercée par les photons) s'exprime par la relation :
[pic], où u est la densité d'énergie rayonnante. Nous admettrons que la
densité d'énergie rayonnante u est égale à la densité d'énergie interne,
soit [pic] (c'est-à-dire que l'on admet que l'énergie interne U est de
nature purement rayonnante).
La température thermodynamique T étant supposée uniforme dans
tout le volume V de la naine blanche, nous admettrons que la densité
d'énergie rayonnante u ne dépend que de T ; elle ne dépend pas de V.

1) La quantité élémentaire de chaleur reçue au cours d'une transformation
élémentaire et réversible s'écrit : [pic] où CV est la capacité calorifique
du système à volume constant.

1.1) Exprimer la différentielle dS de l'entropie sous la forme [pic]. En
déduire une relation entre le coefficient calorimétrique [pic] et une
dérivée partielle de l'entropie.

1.2) Définir les coefficients A2 et B2 dans la différentielle de l'énergie
libre dF, [pic]. Etablir une relation entre les dérivées partielles
associées chacune à l'entropie S et à la pression P. Retrouver la relation
de Clapeyron : [pic]. Calculer [pic] en fonction de T et de [pic].

2.1) Ecrire la différentielle dU de l'énergie interne sous la forme [pic].
On donnera deux expressions de dU en utilisant d'une part le premier
principe et d'autre part la relation [pic].

2.2) Montrer que [pic] où ( est une constante à définir. En déduire la
fonction [pic].
2.3) Sachant que la puissance totale rayonnée par un tel système peut se
mettre sous la forme ? [pic], où c est la vitesse de la lumière dans le
vide et R le rayon de la naine blanche, démontrer que l'on a : ?[pic]où q
est un exposant numérique à déterminer et ( une constante universelle
appelée constante de Stefan.

3) D'après les résultats établis dans les questions précédentes, exprimer
les coefficients A1 et B1 de la différentielle dS (cf. question 1.1).

Exercice 6 : Estimation de l'énergie de vaporisation de l'eau.
Les fonctions d'état d'un liquide dispersé en fines
gouttelettes dépendent de la température et de l'aire de la surface libre
des gouttelettes. On considérera le volume du liquide comme indépendant de
la température et de la pression. Pour augmenter la surface des
gouttelettes, il faut fournir un travail proportionnel à l'augmentation de
l'aire s.
On posera, pour une transformation élémentaire réversible:

[pic] et [pic]

A (coefficient d'énergie superficielle) est une fonction de la température
seulement, C et k sont à priori des fonctions de T et s.

1) a. Exprimer les principes de la thermodynamique, c'est-à-dire dU
(variation de l'énergie interne) et dS (variation de l'entropie).

b. Démontrer que l'expression de k s'écrit : [pic].

2) Calculer le travail et la quantité de chaleur mis en jeu lorsque l'on
fait passer de manière réversible la surface s1 et s2 à la température
constante T.

3) On pose [pic] où ( et n sont des constantes et Tc la température
critique. Pour l'eau : n = 1,2 ; ( = 6,2(10-5 S.I.; Tc = 647 K ; masse
volumique ( = 1 g.cm-3.

a. Calculer A et k à la température de 1°C.

b. Calculer le travail et la quantité de chaleur mis en jeu lorsqu'on
pulvérise 1 kg d'eau initialement sous forme non dispersée (s1 ( 0) en
gouttelettes de brouillard de rayon r = 5 (m à la température de 1°C. Les
gouttelettes sont supposées sphériques et il est conseillé d'exprimer la
surface totale s2 des gouttelettes en suspension en fonction du rayon r et
de la masse volumique (.

c. En admettant qu'on puisse appliquer cette méthode lorsqu'on sépare le
liquide en molécules qu'on assimilera à des gouttelettes sphériques,
calculer le rayon puis la variation d'énergie interne correspondante (la
température reste constante). La comparer à l'énergie interne de
vaporisation à 1°C : 2366 kJ.kg-1.

Données : [pic], NA = 6,02 1023 mol-1.


Exercice 7: Oscillations mécaniques.

On considère un grand récipient rempli d'air et surmonté d'un
cylindre mince de section S fermé par un piston pouvant se déplacer
verticalement sans frottement.




L'ensemble étant initialement à l'équilibre, on enfonce légèrement le
piston de z0 en dessous de sa position de repos. On fait l'hypothèse que
les transformations thermodynamiques subies par l'air sont quasi-
statiques et adiabatiques.

1) Montrer que le piston effectue des oscillations autour de sa position au
repos.
2) Un capteur de pression placé au fond du récipient permet de mesurer une
période d'oscillation t = 1,12 s. En déduire la valeur de ( pour l'air.
Comparer à celle d'un gaz parfait diatomique.


Exercice 8 : Bilan énergétique en régime d'écoulement permanent.


On supposera l'écoulement infiniment lent.












Soit une portion de canalisation délimitée par ( et par les surfaces planes
(e et (s. L'air entre dans la canalisat