Exercice n°3 ? LA GRELE

Amérique du nord 2005 CORRECTION © htpp://labolycee.org
Exercice III - LA GRÊLE (4 points)

A - CHUTE LIBRE

A.1. Considérons comme système le grêlon dans un référentiel terrestre
(supposé galiléen) en chute libre. Il n'est soumis qu'à son poids.
Appliquons la deuxième loi de Newton : [pic]
ou [pic]
soit [pic]
Par projection sur l'axe Oz vertical, il vient az = go
Or [pic] par intégration on obtient vz = go×t + v0z.
Le grêlon tombe sans vitesse initiale, soit v0z = 0 m.s-1 donc : vz = go×t
D'autre part [pic] par intégration on a : z = ½ go×t² + z0.

Or à t = 0 s, le grêlon est en O , donc z0 = 0 m d'où : z = ½ go×t²

A.2. Quand le grêlon atteint le sol, alors z = h = 1500 m, exprimons la
date t d'arrivée au sol :
h = ½ go×t² soit [pic]
remplaçons t par son expression pour trouver la vitesse de chute : vh =
go.t = [pic]

[pic] = 171 m.s-1 = 617 km.h-1


Dans le texte, on nous dit que la vitesse d'un grêlon au sol peut atteindre
160 km/h, la valeur obtenue avec ce modèle de chute libre, n'est pas
vraisemblable.


B - CHUTE REELLE


B.1. [pic] Or F = m.a en kg.m.s-2 et v en m.s-1


D'où [pic] K s'exprime en kg.m-1


B.2. FA = (×V×g0 = ( ([pic](g0


FA = [pic] = 1,8.10-4 N


P = m×go = 13.10-3×9,80 = 0,13 N


Le poids du grêlon est environ 700 fois plus élevé que la poussée
d'Archimède, on peut donc négliger celle-ci devant le poids.


B.3.a. Appliquons la deuxième loi de Newton au grêlon, dans un référentiel
terrestre (supposé galiléen). Le grêlon est soumis à son poids et à la
force de frottement fluide :
[pic] le poids est vertical dirigé vers le bas
la force de frottement est verticale dirigée vers le haut,
En projetant sur l'axe Oz vertical et dirigé vers le bas il vient : P -
F = m×az
Soit : [pic]
ou [pic] L'équation différentielle obtenue est bien de la forme
[pic] avec A = go et B = K / m
B.3.b. ai = A - B×vi2 a4 = A - B×v42 = 9,80 - 1,56.10-
2×17,2² = 5,18 m.s-2
vi+1 = vi + ai×(t v5 = v4 + a4×(t = 17,2 + 5,18×0,5 = 19,8
m.s-1
B.3.c. Quand la vitesse limite est atteinte alors celle-ci est constante et
[pic]
[pic] [pic]25 m.s-1

B.3.d. On trace l'asymptote à la courbe :



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vlim =