Feuille d'exercices n06: variables aléatoires discrètes - Baudrand

Chapitre III
variables aléatoires discrètes.




1. 1°) Un dé cubique D1 comporte 3 faces marquées 1, 2 faces marquées 2, 1
face marquée 3. On lance le dé D1, on note X1 le nombre obtenu,
Déterminer la loi de X1 son espérance, sa variance.
2°) Mêmes questions pour X2 le nombre obtenu en lançant un dé D2
comportant 3 faces marquées 4, 2 faces marquées 5, 1 face marquée 6.
3°) On lance D1 et D2 simultanément, Calculer l'espérance de Z = X1+ X2.
Vérifier en déterminant la loi de Z.


2. On choisit une carte au hasard dans (, jeu de 52 cartes. On définit la
valeur X de la carte ainsi tirée comme suit :
X(() = 4 si ( est un as ;
X(() = 3 si ( est un roi ;
X(() = 2 si ( est une dame ;
X(() = 1 si ( est un valet ;
X(() = 0 dans les autres cas.
Loi de probabilité de X, Valeur moyenne d'une carte. Ecart-type de X.
Valeur moyenne d'une main de 13 cartes.


3. Jeu "chuck a luck" (Etats-Unis), "crown and anchor" (Angleterre). On
parie sur un nombre de 1 à 6. On lance 3 dés. Si le nombre sur lequel on
a parié sort :
3 fois, on gagne 3 F ;
2 2 F ;
1 1 F ;
0 fois, on perd 1 F.
Soit X le gain lors d'une partie, déterminer la loi de X, son espérance
et sa variance.


4. Un vendeur de journaux a, chaque semaine, entre 0 et 5 clients pour une
revue hebdomadaire.
Soit E = {A0,A1,A2,A3,A4,A5} où An désigne l'événement : il y a au n
clients pour la revue,
0 < n < 5. (E, P(E)) est muni de la probabilité P définie par :
P(A0) = P(A5) = 1/32
P(A1) = P(A4) = 5/32
P(A2) = P(A3) = 10/32
Le vendeur gagne 3 F par exemplaire vendu et perd 1 F en frais divers
par exemplaire invendu. Dans le cas où il a commandé p exemplaires on
définit sur E la variable aléatoire Gp par :
Gp (An) = gain du vendeur lorsque n clients se sont présentés dans la
semaine (0 ( n ( 5).
1°) Calculer Gp(An) pour tout p dans [[1, 5]] et tout n dans [[0,5]].
Disposer les résultats sous forme de tableau.
2°) Calculer E(Gi) pour tout i dans [[1,5]]. Que feriez-vous à la place
du vendeur ?


5. k urnes numérotées de 1 à k contiennent chacune n boules identiques
numérotées de 1 à n. On extrait une boule de chaque urne, on note Xi le
numéro de la boule tirée de l'urne n°i.
On note M = max{Xi ; 1 ( i ( 5}.
Déterminer la fonction de répartition Fm de la variable aléatoire M.
(On fera les hypothèses d'indépendance nécessaires).
En déduire la loi de M. Calculer E(M) pour k = 2 ; k = 3.






Lois finies.


6. Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui
interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels
se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se
produise dans le dépannage à la suite d'un appel est p = 0,25.
1°) Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le
nombre de retards que ce client a subi.
a) Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V(X).
b) Calculer (à 0,01 près au plus proche) les probabilités des
événements :
--le client a subi au moins un retard ;
--le client a subi moins de 4 retards ;
--le client a subi moins de 4 retards sachant qu'il en a
subi au moins un.
2°) On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d'entre eux sont
mécontents parce qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi
les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés.
Définir la loi de M. La donner explicitement. Calculer E(M).


7. Un jeu de 32 cartes est truqué : on a remplacé une carte autre que l'as
de pique par un deuxième as de pique. On tire au hasard une main de n
cartes, n < 32.
a) Quelle est la probabilité de déceler la supercherie ?
b) On suppose n = 4 et on renouvelle l'expérience consistant à
tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4 cartes tirées à chaque fois).
Quel est le nombre minimum d'expériences à réaliser pour que la
upercherie soit découverte avec une probabilité au moins égale à 0,95 ?


8. A et B sont deux avions avec respectivement 2 moteurs et 4 moteurs.
Chaque moteur a la probabilité p de tomber en panne. Les pannes
surviennent de façon indépendante. Chaque avion arrive à destination ssi
moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne.
Quel avion choisissez-vous ?


9. 2 joueurs lancent une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, n fois
chacun. On note X, Y le nombre de 'pi1e' obtenus respectivement par A, B.
1°) Pour tout k dans [[0, n]], calculer la probabilité de l'événement :
(X= k) et (Y= k).
2°) En déduire la probabilité que A et B obtiennent le même nombre de
fois "pile'.


10. Soit X une v.a suivant la loi binomiale de paramètres n et p. On
définit la v.a. Y par :
Y = X si X [pic] 0 ;
Y prend une valeur au hasard dans [[1, n]] si X = 0.
Déterminer la loi de Y et calculer E(Y).


11. (Ecricome 89) Deux personnes A et B partent en vacances de façon
indépendante dans un pays E.
Leur séjour dans ce pays peut s'étaler sur n journées (n > 3)
numérotées 1, 2, . . . , n.
Pour éventuellement s'y rencontrer, elles ont projeté d'y séjourner
trois jours consécutifs (et trois jours seulement) dans un hôtel H,
choisi par elles.
On suppose que les jours d'arrivée possibles 1,2, . . . , n-2 de ces
deux personnes dans cet hôtel sont deux variables aléatoires uniformes
et indépendantes.
Les arrivées ont lieu le matin et les départs le soir deux jours plus
tard.
1°) a) Quelle est la probabilité que A et B arrivent le même jour ?
b) Quelle est la probabilité qu'elles arrivent avec un jour
d'écart ?
c) Quelle est la probabilité qu'elles puissent se rencontrer
dans l'hôtel ?
2°) Sachant que A et B se sont rencontrées, quelle est la probabilité
qu'elles ne puissent passer qu'une journée ensemble ?






12. (inseec 91 ) 1°) Une urne contient 2 boules noires et 8 boules
blanches. Un joueur tire successivement 5 boules en remettant la boule
dans l'urne après chaque tirage. Si il tire une boule blanche il
gagne 2 points dans le cas contraire il perd trois points. Soit X le
nombre de points obtenus par le joueur en une partie.
a) Dresser le tableau définissant la loi de X.
b) Calculer E(X) et V(X).
2°). Le joueur tire 5 boules simultanément, les 10 boules de l'urne
étant numérotées de 1 à 10.
a) Soit Y le plus grand des numéros tirés. Déterminer la loi
de probabilité de Y et calculer E(Y).
b) Soit T le nombre de boules blanches obtenues. Après ce
premier tirage le joueur remet les boules noires obtenues et effectue
un nouveau tirage simultané de 5 boules. On appelle Z le nombre de
boules blanches obtenues lors de ce second tirage. Déterminer les lois
de T et de Z. Calculer E(T).


13. (iscid 91) On considère une urne de taille N (N>1) contenant r boules
blanches et N - r boules noires
(0< r < N). Dans cette urne on prélève toutes les boules une à une et
SANS remise. On note X le rang d'apparition de la dernière boule
blanche. Le but du problème est de déterminer :
--la loi de X ;
--l'espérance et la variance de X.
1. a) Traiter le cas N = 4, r = 1.
b) Traiter le cas N =4, r = 2.
2. Dans le cas r = 1, reconnaître la loi de X et rappeler son espérance
et sa variance.
3. Etude du cas général (1 < r < N) :
a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X.
b) Soit k l'une de ces valeurs. Déterminer la probabilité pour qu'au
cours des k-1 premiers tirages soient apparues r-1 boules blanches (et
donc k - r boules noires). En déduire la valeur de P(X = k) c'est-à-dire
la probabilité que la r-ième (et dernière) boule blanche apparaisse au k-
ième tirage.
c) Vérifier, après simplifications, que P(X = k) = [pic]. En déduire
les valeurs des sommes [pic], puis [pic].
d) On rappelle que n[pic] = p[pic]. En déduire que E(X) =
[pic].
(Remarque : l'énoncé proposait aussi le calcul de [pic], puis de
E(X(X+l)), et enfin de V(X)...)


14. (escp 94 0e) On dispose d'un jeu de m cartes, m étant un entier
supérieur ou égal à 2. Ces cartes sont numérotées de 1 à m.
Un joueur A propose à un joueur B Je jeu suivant, moyennant une mise de
1 franc que B lui verse à chaque partie.
B tire une carte au hasard, montre le nombre b qu'elle porte et remet la
carte dans le paquet. Puis A tire une carte au hasard ; quand celle-ci
porte le nombre a :
Si a < b, alors B donne à A la somme de b - a francs ; B a donc
gagné (b - a - 1) francs)
Si a > b, alors B donne à A la somme de 1 franc et B a donc perdu 2
francs.
Si a = b, alors B a simplement perdu 1 franc, le montant de sa mise.
1°) On suppose dans cette question que m = 6.
a) Dresser le tableau à double entrée donnant les gains
(positifs ou négatifs) de B suivant les différentes valeurs du couple
(a, b).
b) Soit X la variable aléatoire représentant les gains de B.
Donner la loi de probabilité de X.
c) Calculer l'espérance de X. Le jeu est-il équilibré ou
avantage-t-il un des joueurs ?
d) Calculer la variance de X.








2°) On revient au cas général : m ( 2.
a) Etablir, en préliminaire, les formules suivantes, pour tout entier N ( 2
: