Chapitre II: Algèbre linéaire, généralités - Baudrand

Chapitre II: Algèbre linéaire, généralités Familles libres, génératrices, bases, sous-espaces vectoriels 1. Dans R3, on considère les vecteurs :
u1 = (2, 1 , 3) u2 = (3, 5, -2) u3 = (- 5, -13, 12) ;
v = (-6, -17, 17) w = (1, 1, 1) 0 = (0, 0, 0).
1°)Le vecteur v est-il combinaison linéaire des vecteurs u1, u2, u3 ?
cette combinaison linéaire est-elle unique ?
2°) Le vecteur w est-il combinaison linéaire des vecteurs u1, u2, u3 ?
3°) Déterminer l'ensemble des triplets (x, y, z) de nombres réels tels
que :
x.u1 + y.u2 + z.u3 = 0 .
En déduire une expression de u3 en fonction de u1 et u2.
4°) Soit U = (a, b, c) un vecteur quelconque de R3. Déterminer une
condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que U soit
combinaison linéaire de u1, u2,u3. 2. Pour chacune des familles de vecteurs de R2 suivantes, dire si elle
est libre, liée, génératrice, si elle est une base de R2 :
( (1, 2) , (1, -1) ) ;
( (1, 4) ) ;
( (0, 0) ) ;
( (1, -2) , (2, 3) , (1, 0) ) .
Mêmes questions pour les familles de vecteurs de R3 :
( (1, 2, 1) , (1, 0, -1) ) ;
( (7, 6, 9) , (1, 4, 6) , (3, 6, 2) ) ;
( (3, 6, 2) , (6, 12, -4) ) ;
( (2, 4, -6) , (-3, -6, 9) ) ;
( ( 3, 6, 2) , (1, 0, 3), (a, b, c) ) .
4. Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 . Soit
u = (1, 1, 1) , v = (1, -1, 0) , w = (-1, 1, -1) .
1°) Montrer que B' = (u,v,w) est une base de R3 .
2°) Trouver les coordonnées de e1, e2, e3 dans la base B'.
5. Soit E l'espace vectoriel des fonctions de R dans R. Parmi les
sous-ensembles de E suivants, dire quels sont les sous-espaces
vectoriels de E :
les fonctions bornées ;
les fonctions dérivables ;
les fonctions continues ;
les fonctions paires ;
les fonctions monotones ;
les foncions positives .
6. Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces
vectoriels de R3 suivants :
F1 = { (x, y, z) ; 2x + y - z = 0}
F2 = { (x, y, z) ; 2x = 0 ; 3y - z = 0 }
F3 = { (x, y, z) ; x - z = 0 ; 3y - z = 0 }
F4 = { (x, y, z) ; -x -y + z = 0 ; 2x + y - 5z = 0}
F5 = { (x, y, z) ; 2x - 3z = 4y - 5x }
F6 = { (x, y, z) ; -x +2y = y +6z = 3z - 2x } .
7. Soit E l'espace vectoriel des suites numériques. Montrer que
F = { (un) ; (n ( N un+2 = 3un+1 + 4un } est un sous espace vectoriel
de E.
8. Résoudre le système linéaire :
[pic]
On discutera suivant la valeur de [pic]. On montrera qu'il existe
deux valeurs de [pic] pour lesquelles l'ensemble des solutions est un
sous-espace vectoriel non réduit au vecteur nul. On explicitera une
base de chacun de ces sous-espaces vectoriels. Applications linéaires, matrices, images, noyau 9. Soit f l'endomorphisme de R3 défini par :
f( (x, y, z) ) = (z + y - x, x + z - y, x + y - z)
1°) Ecrire la matrice A de f dans la base canonique B de R3.
2°) Déterminer la matrice de fof par les deux méthodes suivantes :
a) en calculant les images par fof des vecteurs de la base
canonique ;
b) en calculant le produit AxA.
3°) En déduire fof(x, y, z) pour tout (x, y, z) dans R3.
10. Dans l'espace vectoriel R2, on considère les vecteurs suivants :
u = (1, 1) ; v = (1, -1) .
1°) Montrer que B' = (u, v) est une base de R2.
2°) Soit f un endomorphisme de R2 vérifiant f(u ) = (2, 3) et f(v) =
(4,5) . Expliquer pourquoi f est bien défini.
3°) Soit (x, y) un vecteur de R2. Déterminer en fonction de x et y les
réels a et b tels que (x, y) = a.u + b.v . En déduire la matrice A'
de f dans la base B'. Calculer f(2u+3v).
4°) Soit B = (e1, e2) la base canonique de R2. Montrer que e1 =
[pic](u+v) , e2 = [pic](u-v).En déduire f(e1) et f(e2), puis la
matrice A de f dans la base canonique B. Calculer f(x,y) pour (x,y)
quelconque dans R2.
11. Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base
canonique (e1, e2, e3) de R3 est :
[pic] .
1°) Déterminer une base et la dimension de Ker(f) et de Im(f).
2°) On pose
v1 = e1 - e2 v2 = e1 + e3 v3 = e2 - e3 .
Montrer que (v1, v2, v3) est une base de R3. Déterminer la matrice de
f dans cette nouvelle base.
12. Soit l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base
canonique est :
M = [pic]
Déterminer une base et la dimension de Ker(f) et de Im(f).
13. Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base
canonique est :
M = [pic] Déterminer Ker(f). En déduire que f est un isomorphisme de R3. Déterminer Im(f). Trouver la matrice de f -1 dans la base canonique de
R3.
14. Dans l'espace vectoriel R3 muni de sa base canonique B = (e1,
e2, e3), on considère les trois vecteurs :
f1 = (1, 1, 1) f2 = (1, 1, -1) f3 = (1, -1,
1).
1°) Montrer que C = (f1, f2, f3) est une base de R3.
2°) On considère u l'endomorphisme de R3 défini par les relations :
u(e1) = f1 u(e2) = f2 u(e3) = f3.
a) Expliciter la matrice M de u dans la base canonique B.
b) Montrer que u est bijective.
3°) Déterminer la matrice de u2 = uou dans la base B. Montrer que
cette matrice est combinaison linéaire de M et I. En déduire une
relation entre u, u2 et id. Déterminer la matrice de u-1, bijection
réciproque de u.
15. On considère l'espace vectoriel R3 muni de sa base canonique B = (e1,
e2, e3). Soit
C = (u1, u2, u3), avec :
u1 = (1, -2, 2) u2 = (0, 3, -2) u3 = (0, 4,
-3) .
1°) Montrer que C est une base de R3.
2°) Soit f l'endomorphisme de R3 défini par :
f(e1 ) = u1 f(e2 ) = u2 f(e3 ) = u3 .
Expliciter la matrice A de f dans la bas canonique B. Montrer que f
est bijective.
3°) Déterminer la matrice de f 2 dans la base B. En déduire la matrice
A-1.
4°) Résoudre le système linéaire :
[pic]
On discutera suivant la valeur de [pic]. On montrera qu'il existe deux
valeurs de[pic]pour lesquelles l'ensemble de solutions est un sous-
espace vectoriel non réduit au vecteur nul. On explicitera une base de
chacun de ces sous-espaces vectoriels.
5°) Soit D = (v1, v2, v3), avec :
v1 = (0, 1, -1) ; v2 = (1, -1, 1) ; v3 = (1, 1, 0) .
Montrer que D est une base de R3. Déterminer la matrice de f dans la
base D. Inverse d'une matrice, puissance n-ième d'une matrice 16. Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est inversible
ou non. Dans le cas où la matrice est inversible, calculer son inverse
:
A = [pic] ; B = [pic] ; C = [pic] ; D = [pic] ;
D = [pic] ; E = [pic]
Du résultat concernant la matrice E, déduire la solution du système
linéaire suivant :
[pic]
17. Pour chacune des questions ci-dessous, A est une matrice
vérifiant la relation donnée. Dire dans chaque cas si A est inversible
ou non. Si A est inversible, exprimer A-1 en fonction de A et I. (On
supposera au besoin que A est une matrice non scalaire, c'est à dire
qu'elle n'est pas égale à k.I, où k est un nombre réel.)
1°) A2 - 5A + 6I = 0 2°) A3 + 2A = I 3°) A2 = -A
4°) (A - I).(A +2I) = 0 5°) (A - I).(A +2I) = -2I; 6°) A3 = 0;
7°) A3 = I. Soit A et B les matrices : A =[pic] B = [pic].
1°) Calculer B2, puis Bn, pour tout entier n supérieur ou égal à 2.
2°) Exprimer A comme combinaison linéaire de B et de I, et en déduire
l'expression deAn pour tout n supérieur ou égal à 1 (attention à la
justification).
18. On considère la matrice : M = [pic].
1°) Calculer A = [pic].(M - I), puis A2.
2°) Montrer qu'il existe une suite de nombres (un) telle que :
(n ( N Mn = I + un.A
3°) Calculer un, puis Mn, pour tout n dans N.
19. On donne les matrices : I = [pic] , J = [pic].
1°) Calculer J2 et J3. En déduire Jk, k entier supérieur ou égal à 3.
2°) On pose T = 2I + J. Donner pour tout n dans N l'expression de Tn.
20. On considère les suites (un) et (vn) définies par leurs premiers
termes u0, v0 et par les relations de récurrence : (n ( N)
[pic]
1°) Montrer qu'il existe une matrice A telle que pour tout n dans N :
[pic] .
2°) En déduire que, pour tout n dans N :
[pic] .
3°) Calculer An en écrivant A = 5I + J, où J est une matrice à
déterminer, puis en calculant J2.
4°) Pour tout n dans N, exprimer un et vn en fonction de n, u0, v0.
21. On considère la suite (un) définie par ses deux premiers termes
u0, v0 et pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : (1) un = un-
1 + 2un-2 .
1°) Montrer que la suite (xn) définie par : xn = un + un-1 est
géométrique. En déduire l'expression de xn en fonction de u0, u1, n.
2°) Montrer que la suite (yn) définie par : yn = un - 2un-1 est
géométrique. En déduire l'expression de yn en fonction de u0, u1, n.
3°) Soit la mat