Exo 2 étude d'un système solide-ressort 5,5pts

Asie 2007 EXERCICE II. ÉTUDE D'UN SYSTÈME SOLIDE-RESSORT (5,5 points)
Sans calculatrice Correction
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1. Étude d'un enregistrement
Voir l'excellente animation de G.Tulloue :
http://www.sciences.univ-
nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Oscillateurs/oscillateur_horizontal.h
tml 1.1. À t = 0 s, x(0) = 2,0 cm donc x(0) > 0. L'axe (x'x) est orienté
positivement de la gauche vers la droite donc le mobile est écarté
initialement de sa position d'équilibre vers la droite.
1.2. vX = [pic] , [pic] est égal au coefficient directeur de la tangente à
la courbe x(t).
À t = 0 s, la tangente à x(t) est horizontale [pic] m.s-1. Le mobile est
lâché sans vitesse initiale.
1.3. La période est la plus petite durée qui sépare le passage du mobile
par sa position d'équilibre dans le même sens.
On mesure 2T = 1,41 - 0,15 = 1,26 s donc T = 0,63 s 1.4. Allure de la courbe (en rouge) si le mobile était lancé avec une
vitesse initiale depuis sa position d'équilibre dans le sens des x
négatifs. On aurait vX(0) < 0, donc [pic] < 0.
1.5. On a [pic]. Il faut donc calculer la valeur du coefficient directeur
de la tangente à la
courbe x(t) à la date t = t1 . 2. Étude théorique du mouvement. 1. Le système {mobile} dans le référentiel terrestre galiléen est soumis
à trois forces :
- le poids [pic], vertical et orienté vers le bas,
- la réaction du rail, [pic] verticale et orientée vers le haut (car
pas de frottements),
- la force de rappel [pic]= - K.x.[pic], horizontale et orientée vers
la gauche sur le schéma
2.2. Deuxième loi de Newton appliquée au système {solide} dans le
référentiel terrestre :
[pic] + [pic] + [pic]= m.[pic]
en projection sur l'axe (x'x) : 0 + 0 - K.x(t) = m.[pic]
Finalement [pic]. 2.3. À t = 0 s, x(0) = 2,0 cm et avec la solution proposée : x(0) = [pic]=
XM.cos(()
À t = 0 s, vx(0) = 0,0 m.s-1 et avec la solution proposée: [pic]XM.[pic]
soit vx(0) = [pic]XM.[pic]
Avec: vx(0) = 0 alors sin(() = 0 donc ( = 0 ou ( = ( Ce qui donne pour XM deux solutions :
2,0 = Xmcos(0) ( XM = 2,0 cm
2,0 = Xm.cos(() ( Xm = - 2,0 cm Or l'amplitude XM est toujours positive donc on retient comme solution
XM = 2,0 cm
( = 0 rad
Voir l'animation de F.Passebon :
http://perso.orange.fr/fpassebon/animations/modelisation.swf
2.4. Période propre T0 du mouvement : T0 = 2([pic] avec K = 2.k , k en
N.m-1 et m en kg.
2.5. T0 = 2([pic]= 6,3 ( [pic] = 6,3 ( [pic]= 6,3((1,0(10-2)1/2 =
6,3(1,0(10-1 = 0,63 s valeur égale à celle de T.
3. Étude énergétique
3.1. Travail élémentaire : dW = [pic]
3.2. La force [pic] exercée par l'élève pour étirer le ressort est égale et
opposée à la force de rappel [pic] du ressort. On a donc [pic]= - [pic]=
K.x.[pic]
et [pic]=dx.[pic]
donc dW = ( K.x.[pic]). dx.[pic]= K.x.dx car [pic].[pic] = 1
3.3.méthode analytique: W ([pic]) = [pic] = K[pic] = K.[pic]= [pic]
EPE = W([pic]) = [pic]
méthode graphique: Le travail élémentaire dW = Kx.dx correspond à l'aire du
petit rectangle, en noir, de hauteur K.x et de largeur dx.
Le travail W est la somme (discrète) de tous les travaux élémentaires dW
donc W =[pic]dW.
Graphiquement W représente l'aire du triangle (en gris) sous la courbe FE =
K.x, de hauteur K.XM et de largeur XM soit :
W([pic]) =[pic]= [pic]
W([pic]) = [pic] = EPE 3.4. On ne peut-on pas utiliser dans ce cas I'expression [pic] car la
force de rappel [pic] n'est pas constante au cours du déplacement (sa
valeur dépend de x).
3.5.
1. Expression de l'énergie cinétique : Ec(t) = ½.m.v²(t)
Expression de l'énergie potentielle élastique : EPE(t) = ½.K.x²(t) Initialement la vitesse du mobile est nulle, v(0) = 0 m.s-1 alors EC(0) = 0
J, donc la courbe 2 en trait plein est associée à l'énergie cinétique
Ec(t). De même, initialement l'élongation du mobile est maximale, x(0) = XM alors
EPE(0) est maximale donc la courbe 1 en pointillés est associée à l'énergie
potentielle élastique EPE(t). 3.5.2. L'énergie mécanique EM du dispositif solide-ressort est : Em(t)
= Ec(t) + EPE(t). Lorsque Ec(t) est maximale EPE(t) est nulle et
inversement. L'énergie mécanique est donc constante au cours du temps.
Sa représentation graphique est une droite horizontale passant tous
les sommets de EC(t) et EPE(t) (en rouge). 3. En réalité, à cause des frottements que l'on ne peut pas négliger lors
des oscillations, l'énergie mécanique diminue au cours du temps. En
effet une partie de l'énergie mécanique est perdue sous forme de
chaleur à causes des frottements fluides (avec l'air) et solides (avec
le support).
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[pic] T [pic] [pic] G x x' O [pic] EC(t) [pic] T [pic] EM(t) W dW FE = K.x O x Fe dx XM Kx EPE(t)