Modèle mathématique. - Lycée Henri BECQUEREL

S4- Corrigé DS n° 4 Exercice 1 : 1) La fonction définie sur par f(x) = - 2x + 4 est décroissante sur
car le coefficient directeur est égal à
- 2 donc négatif. 2) Le tableau de signes de 8 - 4x est :
x - 2 + 8 - 4x + 0 -
car 8 - 4x = 0 - 4x = - 8 x = = 2 et 8 - 4x = - 4x + 8 donc a = - 4 < 0
donc 8 - 4x s'annule en 2, est d'abord positif puis négatif. Exercice 2 : 1) Une fonction est décroissante sur un intervalle I si pour tous réels
x1 et x2 de I tels que x1 < x2
alors f(x1) > f(x2) 2) Une fonction affine est une fonction f qui peut s'écrire sous la
forme f(x) = ax + b où a et b sont deux nombres réels.
3) Une fonction affine f est décroissante si et seulement si a < 0.
Démonstration :
Soit x1 et x2 deux nombres réels tels que x1 < x2 , alors ax1 > ax2 car a
< 0 et ax1 + b > ax2 + b
Soit encore f(x1) > f(x2) donc f est décroissante sur .
Exercice 3 : 1) f(x) = 3x - 1, la fonction f est une fonction affine dont le
coefficient directeur est égal à 3 > 0
donc ).
La fonction g est affine, sa représentation graphique passe par les points
A( - 1 ; 5) et B( 1 ; 1), lorsque x augmente, g(x) diminue donc ) 2) Une fonction affine g est de la forme g(x) = ax + b où a et b sont à
déterminer
Or la représentation graphique de g passe par les points A( - 1 ; 5) et B(
1 ; 1) donc g(-1) = 5 et g(1) = 1 donc a = = = - = - 2 donc g(x)
= -2x + b
Comme g(1) = 1 alors -21 + b = 1 soit b = 1 + 2 = 3 donc 3) f(1,5) = 31,5 - 1 = 4,5 - 1 = 3,5 3
donc 4)
|x |- 1/3 | |x |- 3/2 |
| |+ | | |+ |
|signe de f | - 0| | signe de | + 0 |
|(x) |+ | |g(x) |- | f(x) = 0 3x - 1 = 0 3x = 1 x = g(x) = 0 -2x
+ 3 = 0 -2x = - 3 x = =
a = 3 > 0 donc 3x - 1 < 0 sur ] - ; 1/3 [ a = -
2 < 0 donc -2x + 3 > 0 sur ] - ; 3/2 [
et 3x - 1 > 0 sur ] 1/3 ; + [
et -2x + 3 < 0 sur ] 3/2 ; + [ 5)
[pic]
6) f (x) = g(x) 3x - 1 = - 2x + 3 3x + 2x = 3 + 1 5x = 4 x = })
L'abscisse du point Z intersection des droites représentatives des
fonctions f et g est égale à .
Exercice 4 Un chocolatier passe une commande de boîtes de chocolats avant les
fêtes de fin d'année. Les données sont inscrites dans un tableur dont une
copie se trouve ci-dessous.
| |A |B |C |D |E |F |G |
|1|Masse de la boîte (en |150 |250 |350 |500 |750 | |
| |g) | | | | | | |
|2|Nombre de boîtes |75 |100 |165 |85 |60 | |
| |(effectif) | | | | | | |
|3|Fréquence | | | | | | |
|4|Fréquence cumulée | | | | | | |
| |croissante | | | | | | | 1) 75 + 100 + 165 + 85 + 60 = 485 2) 15075 + 250100 + 350165 + 50085 + 75060 = 181500 g soit 181,5kg
. 3) a) );m) = 75 + 250100 + 350165 + 50085 + 75060;75 + 100 + 165 + 85 + 60
)) = 374,23
b) Les masses inférieures à la masse moyenne sont : 150 ; 250 et 350.
= 0,70
4) a) L'effectif total, noté N est égal à 485 donc = = 242,5 donc la
médiane qui partage l'effectif en deux est la 243ième valeur. Si on calcule
l'effectif cumulé croissant, on remarque que = = 121,25 donc le premier quartile est la 122ième valeur soit
N = 363,75 donc le 3ième quartile est la 364ième valeur donc Ces résultats sont cohérents avec ceux affichés à l'écran de la
calculatrice. b) Concrètement le premier quartile est une valeur de la série telle que 5) La formule à écrire dans la cellule G2 afin de calculer l'effectif total
de cette série est : 6) La formule à on écrire dans la cellule B3 afin d'automatiser le calcul
des fréquences est : 7) La formule à écrire dans la cellule B4 est : et dans la cellule C4 :
Exercice 5 : 1) Tableau complété. |Valeur du |[200 ;240[|[240 ;280[ |[280 ;300[|[300 ;320[|[320 ;360[|[360 ;380]|
|caractère | | | | | | |
|Fréquence |0,1 |0,3 |0,2 |0,1 |0,1 |0,2 |
|Fréquence |0,1 |0,4 |0,6 |0,7 |0,8 |1 |
|cumulée | | | | | | |
|croissante | | | | | | | 2) La médiane partage l'effectif en deux donc la médiane est l'abscisse du
point de la courbe dont l'ordonnée est 0,5 (fréquence = 0,5 ou 50 %) donc
Le premier quartile correspond à l'abscisse du point de la courbe
d'ordonnée 0,25 (fréquence = 0,25 ou 25 %)
Donc
Le troisième quartile correspond à l'abscisse du point de la courbe
d'ordonnée 0,75 (fréquence = 0,75 ou 75 %)
Donc