INTRODUCTION A L'ANALYSE DE FOURIER

INTRODUCTION A L'ANALYSE DE FOURIER
Le but de cette leçon est d'introduire l'analyse de Fourier dans le cadre
des systèmes électroniques linéaires. Cette analyse est une analyse de type
fréquentielle, étendue à des régimes qui ne sont pas forcément sinusoïdaux.
L'analyse de Fourier est très utilisée en électricité comme en physique. Dans cette leçon, on introduit les séries de Fourier complexes et réelles.
On se reportera, pour ce formalisme, au cours d'analyse de deuxième année.
Les termes des séries de Fourier sont des fonctions sinusoïdales et
cosinusoïdales. A nouveau, on aperçoit l'importance de l'analyse harmonique
des systèmes, puisque la pertinence de ces décompositions est garantie pour
tout système linéaire (principe de superposition).
La transformation de Fourier a déjà été signalée comme un cas particulier
mathématique de la transformation de Laplace. Elle est très employée dans
toutes les branches techniques avec des implications vastes et diverses :
des relations d'incertitudes en physique aux espaces réciproques en
cristallographie, en passant bien sûr par l'électricité. Pour cette seconde
partie du chapitre, nous nous bornons à la définition de la transformation
de Fourier où l'on aborde la notion de spectre d'un signal. Pour plus vaste
information, nous conseillons au lecteur de se reporter à une introduction
au traitement de signal, domaine où cet outil mathématique est
indispensable. Voir par exemple : "Théorie et traitement de signaux", [12].
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PLAN DE LA LEÇON VI
|I SERIES DE FOURIER |II TRANSFORMATION DE FOURIER |
|1.1. Série de Fourier complexe |2.1. Transformation de Fourier : |
|1.2. Spectre fréquentiel |définition |
|1.3. Exemple : décomposition d'un|2.2. Spectre d'amplitude et spectre |
|train d'impulsions |de phase |
|1.4. Séries de Fourier réelles |2.3. Exemple |
|1.5. Taux de distorsion |2.4. Remarques |
|harmonique |2.5. Fonction de transfert |
| |2.6. Exemple : cellule RC excitée |
| |par un échelon unité |
| |2.6. Table illustrée, transformées |
| |de Fourier |
| |2.6. Opérations dans les domaines |
| |temporel et fréquentiel |
|III EXERCICES ET CORRIGES | |
|3.1. Spectre unilatéral | |
|3.2. Développement de Fourier | |
|d'un signal carré | |
|3.3. Distorsion harmonique | |
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______________________________________________________ 1. LES SERIES DE FOURIER
_____________ Nous avons déjà signalé que la linéarité du système rendait pertinente
l'analyse harmonique et ses diagrammes de Bode ; ici on voit
qu'effectivement, un signal périodique quelconque se décompose en une somme
de signaux sinusoïdaux, c'est une propriété remarquable.
1.1. Série de Fourier complexe La fonction [pic], définie sur l'intervalle [pic], peut être exprimée comme
une série de fonctions :
[pic]
L'ensemble des fonctions :
[pic]
constitue une base de l'espace vectoriel contenant la fonction x, et les
coefficients [pic]constituent les projections de la fonction x sur cette
base.
On utilise le produit scalaire usuel et on obtient, pour le calcul de ces
coefficients :
[pic]
1.2. Spectre fréquentiel
Les différentes fréquences de la décomposition en série de Fourier sont
données par :
[pic]
Le spectre fréquentiel et donné par le graphe :
[pic]
soit physiquement : les amplitudes associées aux différentes fréquences.
Ce spectre fréquentiel est donc une manière de représenter un signal
périodique, et cela reste valable dans le cas général d'un signal non
périodique (d'énergie finie), ce que nous verrons avec la transformée de
Fourier.
Le spectre fréquentiel est ici discret, il contient :
le niveau continu : valeur moyenne du signal
la composante fondamentale, de la fréquence du signal
les harmoniques, de fréquences multiples de celle de la fondamentale
les fréquences négatives, qui n'ont pas de signification physique directe ;
on doit mathématiquement leur présence, au développement de la fonction
réelle en série complexe. Ces fréquences négatives disparaissent avec
l'utilisation de séries de Fourier réelles.

1.3. Exemple : décomposition d'un train d'impulsions
L'impulsion suivante est décomposée en série de Fourier complexe, en
choisissant une période T :
[pic]
Tous calculs effectués on obtient pour les coefficients :
[pic]
En prenant comme variable la fréquence discrète :
[pic]
on obtient l'expression suivante :
[pic]
On obtient, pour la représentation du spectre de cette impulsion :
[pic]
Il convient de remarquer que si on examine la somme de la série de Fourier
sur tout l'axe des temps, on obtient un signal périodique :
[pic]
Il a donc deux approches possibles : soit on ne s'intéresse qu'à une
portion de signal (impulsion sur un intervalle de temps T) et alors la
série ne prend de sens que sur cet intervalle, soit on développe sur tout
l'axe réel un signal périodique grâce à cette décomposition de Fourier.
C'est ce dernier cas qui intéresse en général, car les signaux non
périodiques sont traités à l'aide de la transformation de Fourier qui
génère un spectre continu (voir plus loin).
1.4. Séries de Fourier réelles
Comme le signal électrique est représenté par une fonction réelle à valeurs
réelles, on peut aussi traiter ce cas sans passer par les nombres
complexes.
On a le développement suivant, pour les séries de Fourier réelles :
[pic]
Les signaux impairs se développent en série de sinus, et les signaux pairs
en série de cosinus, ce qui simplifie d'autant les calculs. Le spectre
obtenu est unilatéral, d'où l'appellation de séries de Fourier
unilatérales.
Dans l'exemple précédant du train d'impulsions rectangulaires :
[pic]
on obtient, comme développement de Fourier unilatéral :
[pic]
Et pour la représentation graphique du spectre discret (unilatéral) :
[pic]
Remarquons que le spectre unilatéral n'est pas la version tronquée du
spectre bilatéral : les harmoniques ont le double d'amplitude par rapport à
ce dernier. Il faut voir que le spectre bilatéral d'un signal sinusoïdal
est donné par les deux fréquences : la positive et la négative, et leur
amplitude est la moitié de celle de la fréquence du spectre unilatéral. 1.5. Taux de distorsion harmonique
On peut vouloir qualifier la linéarité de la caractéristique statique d'un
quadripôle. Si cette caractéristique est linéaire, le système répond à une
sinusoïde par une sinusoïde, sinon il introduit une distorsion et le signal
de sortie n'est plus sinusoïdal, mais a acquis des harmoniques. Le taux de
distorsion harmonique est défini ainsi :
Pour un signal sinusoïdal de fréquence f0, le système non-linéaire a crée
des harmoniques de fréquences :
[pic]
Définition du taux global de distorsion harmonique :

[pic]
Pour plus de détails : "Théorie et traitement de signal",


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_________________________ 2. LA TRANSFORMATION DE FOURIER
_____________ En électronique et en traitement de signal, les signaux ne sont pas tous
périodiques, cela représente même l'exception. Le développement en séries
de Fourier ne représente donc pas forcément l'outil d'analyse privilégié,
puisqu'il est nécessaire pour cela d'avoir des signaux périodiques.
2.1. Transformation de Fourier : définition

La transformation de Fourier peut être vue mathématiquement comme un cas
particulier de celle de Laplace, en posant [pic]pour la variable
fréquentielle. On définit :
[pic]
La fonction [pic]est la transformée de Fourier de la fonction[pic]. En
traitement de signal, on utilise plus volontiers la variable fréquence
[pic]que la pulsation [pic], habituellement utilisée en transformée de
Fourier.
2.2. Spectre d'amplitude et spectre de phase
Dans le cas général, la transformée de Fourier d'une fonction produit une
fonction à valeurs complexes. [pic]. Ainsi, on peut obtenir deux
informations de la fonction transformée de Fourier :
Le spectre d'amplitude : [pic]
Le spectre de phase : [pic]
2.3. Exemple :
On reprend l'impulsion précédante avec la transformée de Fourier :
[pic]
Equation de l'impulsion :
[pic]
Tous calculs faits, on obtient pour sa transformée de Fourier :
[pic]
On constate que dans ce cas, [pic]est une fonction réelle. On peut la
représenter graphiquement :
[pic]
Comme X(f) est réel, son spectre de phase est nul, et son spectre
d'amplitude a l'allure suivante :
[pic]

2.4. Remarques
Comme pour le développement en séries de Fourier, on assiste à l'apparition
de fréquences négatives, qui ne s'interprètent pas directement, mais qui
sont néanmoins porteuses d'énergie.
La transformée de Fourier ici correspond à l'enveloppe du spectre discret
du développement de Fourier. Dans cette transformation de Fourier, toutes
les fréquences sont mises à contribution pour la représentation
fréquentielle du signal temporel : le spectre