BAC BLANC Terminales STG janvier 2007 3 heures - Exercices ...

BAC BLANC Terminales STG (Mercatique et CFE)
février 2009 3 heures
CORRECTION EXERCICE 1 ( 3 points) Questionnaire à choix multiples La feuille de calcul ci-dessous présente les indices de référence des
loyers mensuels pour les années 2002 à 2006 (base 100 en 2004). Source
INSEE
M. Smith y a porté le montant des loyers mensuels de l'appartement qu'il
loue ; ce montant évolue chaque année en fonction de l'indice de référence.
|Année |2002 |2003 |2004 |2005 |2006 |
|Indice de |95,5 |97,7 |100 |102,6 |105,5 |
|référence | | | | | |
|Loyer en E |334,25 |341,95 |350 |359,10 |369,25 |
1. L'indice 105,5 en 2006 signifie :
A : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,50 E entre 2004 et
2006.
B : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5 % entre 2002 et
2006.
C : le montant du loyer mensuel a augmenté de 10 % entre 2002 et
2006.
D : le montant du loyer mensuel a augmenté de 5,5 % entre 2004 et
2006. [pic] 2. Le taux d'évolution du loyer mensuel entre 2002 et 2003 (à 10-2 près)
est égal à:
A : + 2,20 % B : + 2,30 % [pic] C : + 7,70
% D : + 2,25 % 3. Le taux moyen annuel d'évolution des loyers mensuels entre 2002 et 2006,
arrondi à 10-1 près est :
A : 2,5 % B : 2,0 % C : 10,5 %
D : 2,6 %
Soit T le taux global [pic]; le taux moyen t est donné par la formule [pic] Soit [pic] [pic]
EXERCICE 2 ( 5 points) Un artisan ferronnier doit fabriquer des tables et fauteuils métalliques en
volutes pour un grand magasin.
Chaque table nécessite 10 kg de fer, 2 litres de peinture anti-corrosion et
demande 3 heures de travail.
Chaque fauteuil nécessite 5 kg de fer, 4 litres de peinture anti-corrosion
et demande 4 heures de travail.
Pour cet ouvrage, l'artisan reçoit 100 kg de fer et 36 litres de peinture
anti-corrosion. Les délais imposés font qu'il ne dispose que de 40 heures
de travail.
On note x le nombre de tables et y le nombre de fauteuils que l'artisan va
réaliser. 1. Montrer que les contraintes de cette situation peuvent être traduites
par le système d'inéquations :
(S) [pic]) 20 ;x + 2y [pic])18 ;3x +4y [pic]) 40)) où x et y sont
des entiers naturels.
Pour fabriquer x tables et y fauteuils, il faut 10x + 5y kg de fer,
l'artisan dispose de 100kg de fer, donc [pic]
En divisant par 5, on obtient [pic]
Pour fabriquer x tables et y fauteuils, il faut 2x + 4y litres de peinture,
l'artisan dispose de 36 litres de peinture, donc [pic]
En divisant par 2, on obtient [pic]
Pour fabriquer x tables et y fauteuils, il faut 3x + 4y heures de travail,
l'artisan dispose de 40 heures, donc [pic]
Le système traduit donc les contraintes
2. L'annexe 1 représente les droites d2 d'équation y = et d3 d'équation y
=[pic] dans un repère orthonormal (O; \d\ba3());i), \d\ba3());j)). Mettre
en évidence l'ensemble des points M(x ; y) du plan, solutions du système
(S), en hachurant la partie du plan qui ne convient pas.
Il faut en premier lieu tracer la droite d1 : y = -2x + 20. Trois points
suffisent
|x |2 |5 |10|
|y |16|10|0 | Les contraintes sont réalisées si les points sont sous la droite, on a des
inégalités larges, donc la frontière est comprise. 3. L'artisan recevra 60 E pour chaque table produite et 40 E pour chaque
fauteuil produit.
Soit S le salaire que l'artisan recevra pour la confection de x tables
et y fauteuils.
a. Exprimer S en fonction de x et y.
S=60x + 40y
b. Déterminer une équation de la droite (d) correspondant à un salaire de
440 E et compléter le graphique précédent en traçant la droite (d).
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
|x |0 |4 |6 |
|y |11|5 |2 |
c. En justifiant la démarche, déterminer graphiquement le couple d'entiers
(x ; y) qui permettra à l'artisan d'obtenir le meilleur salaire.
Préciser le montant de ce salaire maximum. À combien s'élève alors
son salaire horaire ?
On fait glisser la droite (d) pour optimiser le salaire tout en restant
dans le polygone des contraintes, on obtient la droite (d') et le point de
coordonnées (8 ;4).
Le salaire maximum est obtenu pour 8 tables et 4 fauteuils.
60×8+40×4=640
Le salaire est de 640E
3×8+4×4=40
Pour faire 8 tables et 4 fauteuils, il faut 40 heures
640/40=16
Le salaire horaire est de 16E EXERCICE 3 ( 5 points)
Anne et Bastien comparent les étrennes qu'ils reçoivent chaque année. En
2000, Anne a reçu 80 E et Bastien 100 E.
Chaque année, les étrennes d'Anne augmentent de 6 E et celles de Bastien de
3 %.
Pour tout entier n, on note Un et Vn les étrennes reçues par Anne et
Bastien l'année 2000 + n.
On a donc U0 = 80 et V0 = 100. 1. a. Calculer les étrennes qu'ont reçues Anne et Bastien en 2001, puis en
2002. |80+6=86 |100×1,03=103 |
|En 2001, Anne reçoit 86E |Bastien reçoit 103E |
|86+6=92 |103×1,03?106 |
|En 2 002, Anne reçoit 92E |Bastien reçoit 106E | b. Donner la nature de la suite (Un). Justifier.
En déduire Un en fonction de n.
Chaque année, on ajoute 6E aux étrennes d'Anne, donc Un+1=Un+6 et c'est une
suite arithmétique.
Un=80+n×6
c. Donner la nature de la suite (Vn). Justifier.
En déduire Vn en fonction de n.
Chaque année, on multiplie les étrennes de Bastien par 1,03, donc
Vn+1=Vn×1,03 et c'est une suite géométrique.
Vn=100×1,03n
d. A l'aide de la calculatrice, déterminer en quelle année Anne reçoit
pour la première fois davantage que Bastien.
C'est en 2008 que Anne reçoit plus que Bastien.(128E et 126,67E) 2. On note Sn et Tn la somme des étrennes reçues par Anne et Bastien de
l'année 2000 jusqu'à l'année 2000 + n.
On a donc Sn = U0 + U1 + ... + Un et Tn = V0 + V1 + ... + Vn
.
Calculer S15 et T15. Formulaire :
- La somme S des n + 1 premiers termes d'une suite arithmétique (un) est
donnée par :
S = u0 +u1 + ..... + un = (n + 1) ×
- La somme T des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique (un) de
raison q ? 1 est donnée par :
T = u0 +u1 + ..... + un = u0 ×
En appliquant les formules ci-dessus pour n=15 |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] | | 3. On donne ci-dessous l'extrait d'une feuille de calcul réalisée à l'aide
d'un tableur : | |A |B |C |D |E |F |
|1 |N |Année |Un |Vn |Sn |Tn |
|2 |0 |2000 |80 |100 |80 |100 |
|3 |1 |2001 | | | | |
|4 |2 |2002 | | | | |
|5 |3 |2003 | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
|17 |15 |2015 | | | | | a. Quelle formule, à recopier sur la plage C4 :C17, peut-on entrer dans la
cellule C3? =C2+6 ou =$C$2+6*A3
b. Quelle formule, à recopier sur la plage D4 :D 17, peut-on entrer dans la
cellule D3? =D3*1,03 ou =$D$2*1,03^A3
c. Quelle formule, à recopier sur la plage E4 :E17, peut-on entrer dans la
cellule E3? =E2+C2 ou = (A3+1)*($U$2+$U3)/2
EXERCICE 4 ( 7 points) On rappelle que si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle
I, et si v ne s'annule pas sur I, alors la fonction est dérivable sur I et
sa fonction dérivée est donnée par la formule : ) = On se propose d'étudier la capacité pulmonaire moyenne de l'être humain de
10 à 90 ans.
On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle [10 ; 90] par
f(x) = .
On admet que, pour un être humain d'âge x, en années, appartenant à
l'intervalle [10 ; 90], sa capacité pulmonaire moyenne, en litres, peut
être modélisée par f(x).
Une représentation graphique de la fonction f est donnée en annexe 2. 1. Répondre avec la précision permise par la représentation graphique.
a. A quel âge la capacité pulmonaire moyenne est-elle maximale ? Quelle
est cette capacité maximale?
La capacité maximale est de 5,5 litres obtenue à 20 ans.
b. À quels âges la capacité pulmonaire moyenne est-elle supérieure ou
égale à 5 litres ?
La capacité pulmonaire moyenne est supérieure à 5 litres entre 14 et 33 ans 2. On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f.
a. Calculer f '(x) puis montrer que, pour tout nombre réel x de
l'intervalle [10 ; 90], f '(x) = |U(x)=110ln(x) - 220 |V(x) = x |
|[pic] |[pic] | [pic]
[pic]
[pic]
[pic] b. Résoudre sur l'intervalle [10 ; 90] l'équation : 3 - ln(x) =0.
Donner une valeur arrondie de la solution au dixième.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
c. On considère sur l'intervalle [10 ; 90] l'inéquation : 3 - ln(x) > 0.
Montrer que l'ensemble des solutions de cette inéquation est [ 10 ; e3
[. En déduire le signe de f '(x) sur l'intervalle [10 ; 90].
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
d. Faire le tableau de variations de f sur l'intervalle [10 ; 90].
|x |10 | |e3 | |90 |
|f'(x) | |+ |0 |- | |
| | | |5,4| | |
|f(x) | |