Bac maths S 2002 - Nouvelle-Calédonie

Bac S 2002 - Nouvelle-Calédonie Exercices : probabilité, complexe, arithmétique - Problème : fonction
exponentielle. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word :
http://www.debart.fr/doc/bac_2002/bac_s_nouvelle_caledonie_2002.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2002
Epreuve: MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9 OBLIGATOIRE et SPECIALITE L'utilisation d'une calculatrice est autorisée Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.
Ce sujet comporte 3 pages numérotées de 1 à 3. EXERCICE 1 (5 points) commun à tous les candidats Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six
boules blanches et quatre boules rouges.
On suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 E ; si
exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15 E et si une seule
est rouge il gagne 4 E. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du
joueur lors d'un jeu. 1°) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 2°) Pour un jeu, la mise est de 10 E. Le jeu est(il favorable au joueur,
c'est-à-dire l'espérance mathématiques est(elle strictement supérieure à 10
? 3°) Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable,
celui(ci envisage deux solutions:
_ soit augmenter la mise de 1 E, donc passer à 11 E,
_ soit diminuer chaque gain de 1 E, c'est-à-dire ne gagner que 99 E, 14 e
ou 3E.
Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ? EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de
spécialité On considère deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S= x + y et P = xy.
1°) a) Démontrer que x et S sont premiers entre eux, de même que y et S.
b) En déduire que S = x+y et P =xy sont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes ( l'un
pair, l'autre impair).
2°) Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre
croissant.
3°) Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que : SP = 84.
4°) Déterminer les deux entiers naturels a et b vérifiant les conditions
suivantes:
[pic] avec d = pgcd(a;b)
(On pourra poser a = dx et b = dy avec x et y premiers entre eux)
EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire 1°) On considère le polynôme P de la variable complexe z, défini par:
[pic].
a) Déterminer le nombre réel y tel que iy soit solution de l'équation
P(z) = 0.
b) Trouver deux nombres réels a et b tels que, pour tout nombre complexe
z, on ait [pic]
c) Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation P(z) = 0.
2°) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O, [pic],
[pic]).
On prendra 1 cm pour unité graphique.
a) Placer les points A, B et I d'affixes respectives zA = -7 + 5 i ; zB =
-7 - 5 i et [pic].
b) Déterminer l'affixe de l'image du point I par la rotation de centre O
et d'angle[pic].
c) Placer le point C d'affixe zC = 1 + i. Déterminer l'affixe du point N
tel que ABCN soit un parallélogramme.
d) Placer le point D d'affixe zA = 1 + 11 i. Calculer [pic] sous forme
algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites
(AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du
quadrilatère ABCD. PROBLEME (10 points) commun à tous les candidats Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, [pic], [pic]).
(Unités graphiques : 2 cm) Partie A On considère la fonction f définie sur R par [pic].
1°) Déterminer les limites de f en ( (, puis en + (. 2°) Etudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variations. 3°) Construire la courbe (() représentative de f dans le repère (O, [pic],
[pic]).. 4°) A l'aide d'une intégration par parties, calculer [pic] et en déduire
l'aire, en unités d'aire, du domaine définie par les couples (x, y) tels
que 0 ( y ( f(x) et x ( 0. 5°)a) Démontrer que l'équation f(x) = 3 admet deux solutions dans R. Soit (
la solution non nulle, montrer que : (2 < ( < [pic].
b) Plus généralement, déterminer graphiquement, suivant les valeurs du
nombre réel m, le nombre de solutions de l'équation f(x) = m.
Partie B On considère la fonction ( définie sur R par [pic]. 1°) Démontrer que f(x) = 3 si et seulement si ((x) = x. 2°) Soit (' et (" les dérivées première et seconde de la fonction (.
a) Calculer, pour tout réel x, ('(x) et ("(x). Justifier que[pic].
b) Etudier le sens de variation de (', puis celui de (.
On se place désormais dans l'intervalle I = [(2; (]. 3°) Montrer que, pour tout x appartenant à I:
a) ((x) appartient à I.
b) [pic].
c) En déduire, à l'aide d'une intégration, que pour tout x de
l'intervalle I, on a :
[pic]. 4°) On considère la suite (un) définie sur R par uo = (2 et un+1 = ((un).
a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, un appartient à
l'intervalle I.
b) Justifier que, pour tout entier n,
[pic] puis que [pic]
c) En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.
d) Déterminer le plus petit entier p tel que : [pic].
Donner une approximation décimale à 10(2 près de up à l'aide d'une
calculatrice, puis une valeur approchée de ( à 2.10(2 près.