Mécanique des fluides

. MECANIQUE DES FLUIDES
. I La pression
La pression est égale au rapport de l'intensité la force pressante sur
l'aire S de la surface pressée
P = [pic] . II La pression d'un point d'un liquide
La pression en un point d'un liquide dépend de la profondeur de ce point et
de la masse volumique du liquide concerné. La pression est donc la même en
tout point d'un plan horizontal. La pression d'un fluide en un point donné
est indépendante de la forme du récipient et de la quantité du fluide. Pour
un point donné, la pression est d'autant plus grande que la masse volumique
du fluide est plus grande.
. III Le principe fondamental de l'hydrostatique
Le principe fondamental de la hydrostatique donne la différence de
pression P1 et P2 entre deux points quelconques 1 et 2 d'un liquide de
masse volumique ?. Si les points, 1 et 2, possèdent une différence de
profondeur égale à h, l'expression de ce principe est alors de la forme. P1 - P2 = ?.g.?h
. IV La transmission de la pression dans un liquide Un liquide est incompressible, il transmet intégralement une variation de
pression en l'un de ses points à tous les autres points, d'où la relation [pic] . V L'écoulement d'un fluide idéal . a Le débit volumique Un fluide s'écoule à l'intérieur d'un tube, l'écoulement est permanent si
les lignes de courant ne varient pas au cours du temps.
Le débit volumique Q est le volume V de fluide écoulé par unité de temps,
il s'exprime par la relation : Q =[pic]
Pour un écoulement permanent, le débit volumique Q d'un fluide qui s'écoule
par une section S, à une vitesse c est égal au produit de cette vitesse par
la section, ainsi :
Q = c.S . b Conservation du débit volumique Le fluide s'écoule à l'intérieur d'un tube qui passe d'une section S1 à une
section S2, il passe également d'une vitesse d'écoulement c1 à la vitesse
c2. Le débit volumique est le même à travers toute section d'un circuit,
donc le débit Q1 au niveau de la première section est égal au débit Q2.
L'équation de la conservation du débit s'exprime par la relation c1.S1 = c2.S2 = Cte
Nous constatons qu'une section plus petite implique une vitesse
d'écoulement plus importante du liquide qui la traverse. . c Equation de Bernoulli
Nous sommes dans le cas d'un écoulement en régime établi et sans frottement
d'un fluide parfait et incompressible.
L'équation de bernoulli traduit la variation de vitesse c, de la pression P
et de l'altitude z d'une portion de fluide parfait de masse volumique ?,
entre les deux niveaux 1 et 2, ainsi [pic] ?.c1² + P1 + ?.g.z1 = [pic] ?.c2² + P2 + ?.g.z2 . d Tube de Venturi
Dans le cas d'une conduite horizontale
L'équation de bernoulli se simplifie, en effet chaque ligne de courant est
quasiment horizontale, les deux altitudes z1 et z2 étant égales ?.g.z1 =
?.g.z2 ainsi
[pic] ?.c1² + P1 = [pic] ?.c2² + P2 Nous constatons que la vitesse d'écoulement d'un fluide augmente
lorsque la section qu'il traverse devient plus petite, ce qui implique une
pression plus faible.
. VI L'écoulement d'un fluide réel
. a La viscosité Un fluide réel en mouvement subit en réalité des pertes d'énergie dues au
liquide lui-même ainsi qu'aux frottements sur les parois des canalisations.
La viscosité d'un fluide caractérise sa facilité à s'écouler, plus la
viscosité est grande plus il s'écoule difficilement. La viscosité
cinématique v est le rapport de la viscosité dynamique ? et de la masse
volumique ? du fluide.
[pic] . b Les différents régimes d'écoulement
Plusieurs types d'écoulement sont possibles dans une conduite cylindrique,
ils sont déterminés par un terme appelé nombre de Reynolds, noté Re, nombre
sans unités, il se calcule ainsi
Re = [pic]
> Re < 2000 L'écoulement est laminaire > 2000 < Re < 3000 L'écoulement est intermédiaire > Re > 3000 L'écoulement est turbulent
i. Les pertes de charge L'ensemble des pertes d'énergie que subit un fluide réel en mouvement
s'appelle les pertes de charge. Le débit réel est donc légèrement inférieur
au débit théorique comme l'exprime la relation : Qréel = ?.Qthéorique Pour une canalisation le coefficient ? est donné par le constructeur, il
permet donc de déterminer le débit réel puisque le débit théorique peut
être calculé.
ii. Equation de bernoulli
En tenant compte des pertes de charge, que nous notons ?P, en pascals,
l'équation de bernoulli devient [pic] ?.(c2² - c1²) + (P2 - P1) + ?.g.( z2 - z1) = - ?P
. VII Etude d'une pompe L'équation de Bernoulli permet de décrire les échanges d'énergie entre un
fluide et une machine, elle permet donc de dimensionner une pompe.
L'énergie W échangée entre une pompe et le fluide est donnée par la
relation générale W = P + Ep + Ec + Pe La rotation des palettes d'une pompe crée une aspiration du fluide au
niveau de l'entrée et un refoulement de ce fluide vers la sortie de la
pompe. La pompe se caractérise par le rapport de son débit par sa fréquence
de rotation, ce quotient s'appelle la cylindrée, il s'exprime avec la
relation
Cyl = [pic]
La puissance absorbée par la pompe est d'origine mécanique, elle s'exprime
donc par la forme
Pa = T.? La puissance utile est le produit de la pression du fluide éjecté par la
pompe par le débit du fluide
Pu = P.Q
. VIII Exercices Exercice N°1 Un embout d'arrosage de diamètre intérieur D2 = 3 cm, est fixé sur d'un
tuyau de diamètre intérieur D1 = 8 cm. La vitesse d'écoulement de l'eau
avant l'embout est c1 = 8 m.s-1. 1 Calculer la vitesse c2 à la sortie de l'embout d'arrosage ;
2 Calculer le débit volumique du tuyau Exercice N°2 Un système hydraulique fonctionne sous une pression de 180 bars. Le débit
de la pompe est égal à 80 litres par minute.
Le moteur d'entraînement tourne à 1500 tr.min-1. Le rendement de la pompe
est de 90 %, celui du moteur est égal à 80 %. 1 Calculer la puissance hydraulique Ph fournie par la pompe.
2 Calculer la cylindrée de la pompe.
3 En déduire Pa la puissance absorbée par la pompe.
4 Donner le rendement du système complet.
Exercice N°3 Un système à ventouses permet de déplacer des objets en utilisant le
principe de Venturi. Il utilise de l'air comprimé et fonctionne suivant le
schéma ci-dessous :
[pic] Le générateur de vide est alimenté par un débit d'air Q = 10 l.min-1, sous
une pression PA = 5 bars. 1 Calculer la vitesse cB d'écoulement de l'air dans la section SB si elle
est égale à 2.10-7 m2.
2 Calculer la pression PB dans la section SB., si l'on néglige la vitesse
d'écoulement (cA = 0 m.s-1 ) et la masse volumique de l'air égale à 1,3
kg.m-3.
3 Calculer F, la valeur de la force d'attraction de la ventouse si F =
(Patm - PB).S, avec S la surface de contact de la ventouse égale à 0,08 m2. Exercice N°4 REVISION DU COURS I - Le principe fondamental de l'hydrostatique pour un fluide
incompressible immobile Soit un liquide homogène, immobile, de masse volumique ?.
Les points A et B du liquide possèdent une différence de profondeur égale
à h. 1. De quoi dépend la pression au point A ?
2. Que dit le principe fondamental de l'hydrostatique ?
3. Le liquide est de l'eau, si PA = 1,01.105 Pa, quelle est la pression
au point B ?
4. A quelle différence de pression correspond 1m de colonne d'eau ?
5. A quelle différence de pression correspond 0,5 m de colonne de
mercure ?
II - Ecoulement permanent d'un fluide incompressible idéal, section
constante
Un volume v d'un fluide s'écoule à la vitesse c dans une conduite de
section constante S. 1. Qu'appelle-t-on débit volumique ?
2. Exprimer ce débit en fonction de la vitesse d'écoulement du fluide.
3. Que signifie l'équation de continuité ?
4. Ecrire l'équation de Bernoulli.
III - Ecoulement permanent d'un fluide incompressible idéal, section
variable
Le fluide s'écoule à la vitesse v dans une conduite horizontale de section
S variable. Le Tube de Venturi
On supposera négligeables les pertes de charges. On considère 2 points horizontaux, A dans la partie de section S1 et B dans
la partie de section S2, distants de 1 mètre.
1. Ecrire l'équation de continuité.
2. Donner la relation entre v1 au point A et v2 au point B si S1 = 3 S
3. Ecrire l'équation de Bernoulli,
4. Exprimer la différence entre PA et PB en fonction de v1, si le fluide
est de l'eau.
5. En lequel des 2 points A ou B la pression est-elle la plus élevée ?
IV - Ecoulement d'un fluide incompressible réel
1. Qu'est-ce que la viscosité d'un fluide réel ?
2. Quel est le régime d'écoulement du fluide dans une conduite
cylindrique si le nombre de Reynolds est de 1000 ? 3. Ecrire dans ce cas le théorème de Bernoulli généralisé. On donne : Masse volumique de l'eau : 1.103 kg/m3
Masse volumique du mercure : 13,6.103 kg/m3
Accélération de la pesanteur g = 9,81 m.s-2 ----------------------- Cyl La cylindré de la pompe en m3/tour [m3.tr-1]
Q Le débit moyen du fluide en mètres3/seconde [m3.s-1]
n La fréquence de rotation de la pompe [tr.s-1] W L'énergie totale entre la pompe et le fluide en joules [J]
P La variation d'énergie des différentes pressions en joules [J]
Ep L'énergie potentielle du fluide en joules [J]
Ep L'énergie cinétique du système en joules [J]
Pe L'ensemble des pertes du système en joules [J] Re Le nombre de Reynolds sans dimension [sans uni