Les réseaux de Petri : Corrigé de TD1 - Td corrigé

Les réseaux de Petri : Corrigé de TD1


(Source de TD1 et ses corrigés : M.-C. Portmann)


Exercice 1 :

Le réseau de Petri ci-dessous représente l'activité d'un barman.

|[pic] |C'est un graphe d'événements. |
| | |
| |Pour passer à deux barmans qui|
| |ont le même temps de service, |
| |il suffit d'avoir mis au |
| |départ deux jetons dans le |
| |deuxième circuit qui |
| |correspond à l'activité ou à |
| |la non activité des barmans. |
| |On ne sait pas quel est le |
| |barman qui s'active lorsque |
| |les deux sont inactifs et cela|
| |n'a pas d'importance. |
| | |
| |Bien sûr, on peut généraliser |
| |à p barmans ayant le même |
| |temps de service. Et ce sera |
| |toujours un graphe |
| |d'événements. |

|[pic] |Si les deux barmans n'ont pas le|
| |même temps de service, on peut |
| |créer un circuit pour chacun des|
| |barmans et dans ce cas, on sait |
| |quel est le barman qui est |
| |inactif lorsque un seul l'est. |
| | |
| |Si on cherchait un |
| |fonctionnement au plus tôt de ce|
| |réseau de Petri, il faudrait |
| |décider par exemple que lorsque |
| |l'un des deux barmans sont |
| |disponibles, l'un est toujours |
| |plus rapide que l'autre pour |
| |s'adresser au client et prendre |
| |sa commande, car ici, il faut |
| |lever le conflit, le graphe |
| |n'est plus un graphe |
| |d'événement. |
| | |
| |On peut bien sûr généraliser au |
| |cas de p barmans ayant des temps|
| |de service différents. |

Exercice 2 :
1. La figure de la page suivante montre le graphe d'événements
correspondant.

Chaque produit y est représenté par autant de circuits élémentaires que sa
proportion dans l'équilibrage des produits, donc ici 2 circuits
élémentaires pour le produit P1 et un seul circuit élémentaire pour les
deux autres produits. Nous appelons ces circuits les circuits "produits" ou
circuits de process .

Chaque fois que l'on termine un produit fini Pi, une pièce brute de produit
Pi est candidate à une entrée dans l'atelier, grâce à la place qui suit la
transition correspondant à la dernière opération de la gamme.

[pic]

Si on n'avait pas mis la première transition du circuit produit, mais si
l'on avait mis comme arrivée de l'arc qui sort de la place "une pièce brute
Pi veut entrer" directement la transition correspondant à la première
opération de la gamme, alors, la nouvelle pièce serait traitée tout de
suite et, la progression des différents produits étant indépendante (sous
l'hypothèse d'avoir suffisamment de machines identiques de chaque type),
les produits dont la somme des durées opératoires est la plus courte
auraient un plus court cycle de fabrication et seraient donc fabriqués en
plus grande quantité que les autres à égalité du nombre de circuits
élémentaires les concernant.

Le circuit le plus à gauche qui passe par la première transition de chacun
des autres circuits est un circuit régulateur qui permet d'assurer que les
entrées (et par conséquent les sorties) respectent les proportions
demandées. Si ce circuit ne contient qu'un seul jeton, il impose ici de
rentrer d'abord une pièce brute P1, puis une autre pièce brute P1, puis une
pièce brute P2, puis une pièce brute P3, puis de recommencer ... Il est
évident que si on échange la position des circuits, on pourrait imposer
d'entrer une pièce P1, puis une pièce P2, puis une pièce P1, puis une pièce
P3 avant de recommencer ...

On fige donc la succession des entrées répétitives des pièces brutes dans
l'atelier en construisant ce circuit de contrôle des entrées (dans une
phase d'optimisation combinatoire, on pourra donc envisager les différentes
façons de construire ce circuit, pour le moment, on suppose que l'on a
choisi le circuit de ce schéma de manière arbitraire).


2. On ajoute autant de circuits de commande que de machines qui vont
obliger que les produits se succèdent (strictement ou non) sur les
machines sans recouvrement.

[pic]

Comme pour le cas du circuit de contrôle des entrées, on "brise la
combinatoire du problème" en choisissant l'ordre de succession des produits
sur chacune des machines (on pourra toujours a posteriori inclure ce
travail dans un module exploratoire qui testera si changer cet ordre peut
améliorer le critère considéré).

Nous avons choisi ici de prendre l'ordre P1 (premier exemplaire), P1
(deuxième exemplaire) et enfin P2 sur la machine 1 ; l'ordre P1 (premier
exemplaire), P1 (deuxième exemplaire) puis P2 et enfin P3 sur la machine 2
; l'ordre P1 (premier exemplaire), P1 (deuxième exemplaire) puis P3 sur la
machine 3. Ce qui nous donne le schéma complété ci-dessus.

Alors que l'on pourrait envisager de mettre plusieurs jetons dans le
circuit de contrôle des entrées (ce qui signifierait que l'on entre en
parallèle plusieurs fois un sous-ensemble P1,P1,P2,P3), par contre, il faut
mettre dans chaque circuit de commande machine un jeton et un seul, c'est
lui qui assure que la machine ne travaille pas sur plusieurs produits à la
fois ; et si l'entrée est, par exemple, une phase de palétisation de la
pièce brute sur une machine unique, il faut un seul jeton dans le circuit
de contrôle des entrées, ce que nous retiendrons ici.

Ayant choisi les circuits de commande et de contrôle et sachant que l'on va
déclencher toutes les transitions tirables au plus tôt, le seul degré de
liberté restant est le marquage initial.

Si l'on met des jetons dans la gamme entre deux machines, cela signifie que
l'on ne démarre pas à vide et qu'il existait des encours dans l'atelier. Si
l'on démarre à vide, tous les encours sont des pièces brutes et on en place
autant qu'on le souhaite, mais au moins un, dans la place "une pièce brute
est candidate à une entrée", les autres places des circuits pièces restant
vides.

On place le jeton du circuit de contrôle des entrées où bon nous semble et
le jeton de contrôle des machines de préférence devant une première
opération d'une gamme (car il faut être sûr que le processus démarre et que
toutes les transitions seront accessibles à partir du marquage initial).

Après ces derniers choix, nous avons parfaitement défini un ordonnancement
répétitif au plus tôt.

Exercice 2 :
1. On considère tout d'abord l'atelier mono-produit qui fabrique le seul
produit P et le schéma proposé dans l'énoncé.

Remarques sur le schéma :

Les boucles sur les places "A1 inactif" et "A2 inactif" permettent de ne
lancer la fabrication que d'un seul container à la fois pour chaque chaîne,
alors qu'il n'est pas nécessaire d'avoir une telle boucle pour les
fournisseurs, puisque plusieurs containers peuvent être acheminés en
parallèle. La boucle du magasin permet de représenter le passage des
containers chez les clients. Ils partent pleins et reviennent vides en aval
des chaînes (c'est-à-dire sur la place en amont des transitions chaînes qui
ne peuvent être tirées que s'il y a des containers vides et s'il y a des
composants en quantité suffisante). La valeur µ permet de modéliser une
rotation plus ou moins rapide des containers chez les clients.


[pic]
2. Ce graphe n'est pas un graphe d'événement, car les places correspondants
aux containers de composants pleins et aux containers de produits vides
ont deux transitions en sortie (les deux chaînes d'assemblage), cela
représente le fait que le problème n'est pas déterministe, et si les deux
chaînes sont arrêtées et peuvent démarrer, il faudra de manière
arbitraire traiter l'une avant l'autre (par exemple en donnant toujours
la priorité à la chaîne la plus rapide).
3. Le passage à deux produits a nécessité ici une multiplication des
transitions correspondant aux chaînes. Une transition correspondant
maintenant à l'exécution d'un produit sur une chaîne. Cette duplication a
été rendu nécessaire de manière à distinguer les containers vides qui
seront remplis et les quantités différentes de composants qui seront
utilisées selon les produits (on aurait pu ajouter un composant C3 pour
le produit Q avec un des fournisseurs existants ou un nouveau
fournisseur, ne pas