1S1 ? Corrigé DM01

1S1 - Corrigé DM10 A. La droite d'Euler d'un triangle 1. Faire une figure soignée
Le dessin peut être fait avec Sine qua non
[pic]
2. Soit h l'homothétie de centre G qui transforme A en A'.
a) On sait que le centre de gravité d'un triangle est situé aux deux-
tiers de la médiane. Plus précisément, si A' est le milieu de [BC]
alors on a : =.
On en déduit : 3=2
Donc : 3=2+2
Donc : =2
Finalement : =-)).
Donc )).
De la même façon, on a : =- donc )
et : =- donc ).
b) On sait que l'image d'une droite par une homothétie est une
droite parallèle.
On sait que h(A)=A'.
Donc l'image de la droite ) par h est la droite parallèe à )
passant par A'.
Or A' est le milieu de [BC] et )+(BC).
Donc la parallèle à ) passant par A' est la médiatrice de [BC].
) par h est la médiatrice de [BC])).
De la même façon, on peut démontrer que ) par h est la médiatrice
de [AC])).
On sait que H est l'othocentre du triangle ABC, donc appartient
aux hauteurs ) et ).
Donc l'image de H par h appartient à la fois à l'image de ) et de
) par h :
);H?)) )) donc );h(H)?h)) ))
Donc l'image de H par h appartient aux médiatrices de [BC] et de
[AC].
On sait que l'intersection des médiatrices est le point O, centre
du cercle circonscrit au triangle ABC.
Donc ).
c) On vient de démontrer que h(H)=O.
On sait que, le centre d'une homothétie est toujours aligné avec
un point et son image.
Donc G, centre de l'homothétie h, est aligné avec O et H et, de
plus : =-.
On en déduit : 2=
puis : 2=+
puis : =+2
finalement : =3)).
3. a) Quelle est la droite d'Euler d'un triangle isocèle ?
Dans un triangle isocèle ABC (de côtés égaux AB et AC), la médiane
issue de A est en même temps la hauteur issue de A et la
médiatrice de [BC].
Donc le centre de gravité G, l'othocentre H et le centre O du
cercle ABC sont situés sur cette hauteur-médiane-médiatrice.
Donc la droite d'Euler du triangle isocèle ABC est cette hauteur-
médiane-médiatrice.
b) La droite d'Euler d'un triangle peut-elle être confondue avec
l'une de ses médianes ?
Nous savons déjà que oui, si le triangle est isocèle. Mais le cas
peut-il se produire avec un triangle non isocèle ?
Supposons que la droite d'Euler de ABC soit la médiane (AA').
On en déduit que H?(AA').
Donc (AA') est aussi une hauteur de ABC, donc aussi la médiatrice
de [BC] (orthogonale à (BC) passant par le milieu de [BC]).
Donc, A étant sur cette médiatrice de [BC], on en déduit que AB=AC
et donc que le triangle ABC est isocèle.
La droite d'Euler d'un triangle est confondue avec l'une de ses
médianes si et seulement c'est un triangle isocèle.
c) Deux triangles différents peuvent-ils avoir la même droite
d'Euler ?
Oui, en effet :
Soit ABC et triangle dont la droite d'Euler est (OH).
. Considérons un vecteur non nul colinéaire à .
L'image du triangle (ABC) par la translation de vecteur est
un triangle isométrique à ABC de même droite d'Euler, car la
droite (OH) est globalement invariante par une translation
dont le vecteur est un vecteur directeur de (OH).
. De même, si on construit l'image du triangle ABC par une
homothétie dont le centre appartient à la droite d'Euler de
ABC, alors on obtiendra un nouveau triangle dont la droite
d'Euler sera la même. B. Une propriété de l'orthocentre 1. Soit ? l'image du cercle C par la réflexion d'axe (BC).
a) En utilisant l'égalité =3, démontrer que : =2'.
On a : =+
donc : =2'++) car, G étant le centre de gravité de ABC, on a
=',
d'où =2'.
donc : =2'++3
donc : =2'+2
donc : =2+')=2'
remarque, on pouvait faire plus simplement :
On sait que donc , puisque h est une homothétie de
rapport - : '=-
donc : 2'=-
donc : =2'.
b) Notons O' le centre du cercle ?, symétrique du cercle C ar
rapport à l'axe (BC).
On a 2'='
Donc ='
Donc ? est aussi l'image du cercle C par la translation t de
vecteur .
Or A?C, et t(A)=H.
Donc H??.
2. Conclusion
Les cercles C et ? sont symétriques par rapport à l'axe (BC).
H est un point de ?
Donc le symétrique de H par rapport à (BC) appartient à C. (ce point
est noté sur la figure ci-dessous)
De la même façon, on démontre que les symétriques et de H par
rapport à (AC) et à (AB) sont des points de C.
[pic]
C. Le cercle d'Euler d'un triangle On note C' le cercle circonscrit à A'B'C'.
1. Démontrer que C' est l'image du cercle C par l'homothétie h.
On sait que : donc C', cercle circonscrit à A'B'C' , est l'image de
C, cercle circonscrit à ABC.
(il n'existe qu'un seul cercle passant par 3 points donnés distincts)
2. Démontrer que C' est aussi l'image de C par une autre homothétie.
Notons ? le centre du cercle C'.
On a donc : h(O)=?.
Donc : =-.
Donc : +=-
Donc : =
or, on a démontré (A. 2. c)), que =3, d'où =
Donc : =)
Donc : =.
? est donc le milieu de [OH]. On peut donc écrire =.
Donc ? est l'image de O par l'homothétie h' de centre H et de rapport
.
Donc l'image du cercle C par h' est le cercle de centre ? dont le
rayon est la moitié de celui de C. (une homothétie de rapport k
transforme un cercle de rayon R en un cercle de rayon |k|R)
Or le rapport de l'homothétie h est -. Donc h transforme elle aussi
le cercle C en un cercle de centre ? et de rayon égal à la moitié de
celui de C.
On peut donc conclure que : h(C)=h'(C)=C'.
3. En déduire que les points , , , , et appartiennent au cercle C'.
Nous savons que les symétriques , , de H par rapport respectivement
à (BC), (AC) et (CA) sont sur le cercle C.
Donc les images de , et par h' sont sur le cercle C'.
Or l'image de par h', homothétie de centre H et de rapport est le
milieu de ), c'est-à-dire le point .
En effet est le projeté orthogonal de H sur la droite (BC) et est
le symétrique de H par rapport à (BC).
Donc, puisque est un point de C, son image par h' est un point de
h(C)=C'. Donc ?C'.
De la même façon, on démontre que ?C' et que ?C'.
Enfin, les point A, B et C sont sur le cercle C, donc leurs images
par h' sont sur le cercle C'.
Or h'(A)= car est le milieu de [AH] et h' est l'homothétie de centre
H et de rapport .
Donc ?C'.
De même ?C' et ?C'.
Le cercle C' est aussi appelé le cercle des 9 neuf points puisqu'il
contient les points A', B', C', , , , , , .
[pic]