Chapitre 10 ? Oscillations libres dans un circuit RLC - Td corrigé

Chapitre 9 - Oscillations libres dans un circuit RLC
EXERCICES CORRIGES




Exercice 7 p185 : Décharge oscillante. Résolution analytique

1) A t = 0 , on ferme K, le condensateur est chargé uc = E.
Les tensions uL et uR sont fléchées dans le sens respectant la convention
récepteur,
u et i de sens contraire.
D'après la loi d'additivité des tensions, on a uc + uL = 0
2) uL = L.[pic]car r négligeable
3) q = C.uC ; i = [pic]; i = C. [pic]
4) L. [pic] = - uC ( = uC + L.C. [pic]= 0
5) a) uC = a.cos( (0.t + b ) ; [pic]= - (0.a.sin( (0.t + b ) ;
[pic]= - (02.a.cos( (0.t + b )
On remplace dans l'équation différentielle :
a.cos( (0.t + b ) - (02.a.L.C.cos( (0.t + b ) = 0 ( a cos( (0.t + b ) [1 -
(02L.C] = 0
cette relation est vérifiée pour 1 - (02L.C = 0 donc (02 = 1 / LC ( (0
= [pic]
La solution uc = 0 n'est physiquement pas possible.
b) A t = 0 s , la tension aux bornes du condensateur est maximale,
elle vaut E.
à t = 0, [pic] =0 = - (0.a.sin b d'où sin b = 0 donc b = 0
à t = 0, uC = E = a.cos b = a d'où a = E (
c) Bilan :






Exercice 8 p 185 : décharge oscillante. Variation de i

a) schéma
b) i = [pic]; q = C.uC ( i = C. [pic]
c) [pic]= - (0.E.sin((0.t) ( i = -(0.C.E.sin((0.t)
d) A la date t = 0 s, la bobine s'oppose au variation du courant, i est
minimale. On retrouve ce résultat avec l'expression de i.
e) i = -(0.C.E.sin(0) = 0


Exercice 9 p 186 : énergie stockée
uC = Um.cos( (0.t) ;
a) i = [pic]= C. [pic]= - C.(0.Um.sin((0.t)
b) T0 = [pic]
c)
|t |0 |T0 / 4 |T0 / 2 |3 T0 / 4 |T0 |5 T0 / 4 |
|.(0t |0 |? /2 |? |3 ?/2 |2 ? |5 ?/2 |
|i |0 |- C.(0.Um|0 |+C.(0.Um |0 |- C.(0.Um|
|uC |Um |0 |- Um |0 |Um |0 |
|stockage |condensateur|bobine |condensateur|bobine |condensateur|bobine |
|d'énergie | | | | | | |


d)








Econd [pic]C[pic] stockée pour t = k.T0/2 k = 0,1,2...
EL = [pic]L[pic] stockée pour t = (2k+1).T0/4 k = 0,1,2...








Exercice 10 p 186 : la précision quartz
a) L'amortissement est du à des pertes d'énergie par effet joule dans le
conducteur ohmique, la bobine peut aussi avoir une résistance interne,
dans ce cas, elle consomme aussi de l'énergie.
On peut diminuer cet amortissement en limitant les valeurs de résistance
des composants cités.
b) Si on peut augmente trop l'amortissement, il n'y a plus d'oscillations ,
le régime est apériodique
c) Les oscillateurs C et D correspondent à la courbe n°1, il n'y a pas
d'amortissement.
L'oscillateur A correspond à la courbe 3, le régime permanent n'est pas
encore atteint.
L'oscillateur B correspond à la courbe 2, il y a amortissement des
oscillations.








Exercice 14 p 187 : Etude expréimentale d'oscillations électriques
I ) 1) La voie 1 visualise la tension uC
2) La voie 2 visualise la tension - uR (ou -R.i)
II ) 1) si r et R sont négligeables, on a un circuit idéal pour lequel :
uC + uL = 0
q = qA = Cuc d'où q / C donc uc = [pic]
or uL = L.di/dt = 0
et i = [pic];


Il vient alors : [pic] + L[pic]= 0 ou [pic] + [pic]q = 0
2) On peut donc écrire (0 = [pic]d'où T0 = [pic] T0 = 2 ( [pic]
III ) 1) T01 = T03 = 2 ( (1,0 x 4,0.10-6)-1/2 = 12,6 ms ;
T02 = 2 ( (0,2 x 4,0.10-6)-1/2 = 5,62 ms

2) 3T = 40 ms donc Ta = 13 ms ,
2T = 27 ms donc Tb = 13 ms ,
Tc = 7 ms

3) D'après les valeurs de pseudo-période, l'expérience E2 correspond au
graphique c.
Pour distinguer les 2 autres expériences, il faut comparer les valeurs de
R, pour la plus grande valeur R, l'amortissement sera plus important, cela
correspond au graphique b et à l'expérience E1.
Le graphique a correspond donc à l'expérience E3 .

IV ) 1) EC = ½ C.uC2 et EL = ½ L.i2
La courbe 1 est la somme des deux autres, elle représente l'énergie
totale : Etot = Ec + EL.
La valeur de la courbe 3 est maximale à t = 0s, il s'agit donc de EC car à
cet instant, le condensateur est complètement chargé, alors que i = 0 A, EL
= 0 J (courbe 2).

2) L'énergie totale est décroissante car il y a des pertes par effet joule
dans le conducteur ohmique.
3) A t = 0 s , ET = EC = 40 (J . A t = 10 ms , ET = EL = 12,5 (J.
(ET = 27,5 (J

-----------------------
Pour i = 0, uc est max ou min
Uc = 0, i est max ou min

uC = E.cos([pic]t )
uC = 6,0 cos(20,3*t)


donc [pic]