Dynamique du solide en rotation, exercice résolu - accesmad

Exercice bac série D 2006 : théorème de l'accélération angulaire [pic] Corrigé [pic] 1/ Décidons d'un sens positif de la rotation (voir figure).
Le disque écarté de sa position d'équilibre est abandonné , il est soumis
au seul couple de torsion de rappel de moment :-C?
Le signe moins indique que le moment est toujours de signe contraire à
l'écart angulaire ?.
Le théorème s'écrit :
[pic]
C'est l'équation d'un oscillateur harmonique de pulsation égale à
[pic]
Et de période propre:
[pic]
2/L'énergie mécanique est :
[pic]
Dérivons cette expression par rapport au temps :
[pic]
La relation est vraie pour toute valeur de t, on peut diviser l'équation
obtenue par d?/dt.
On retrouve après les simplifications évidentes, l'équation différentielle
du paragraphe précédent. 3/ Le pendule simple synchrone doit avoir une période égale à
[pic]
Remarque : il peut être utile de se demander si la relation (*) a bien la
dimension d'une longueur.
[pic] Autre exercice :dynamique du solide en rotation Un objet de masse m est suspendue par un fil de masse négligeable. Le fil
est enroulé autour d'un disque plein de rayon r et de masse M tournant
sans frottement autour d'un axe horizontal ?.
A l'instant t=0, l'objet est abandonné sans vitesse initiale au point O. La
position de l'objet est repéré par son abscisse x mesurée à partir de O
.L'axe Ox est orienté positivement vers le bas.(voir figure ci-dessous).
On donne m=1kg, M=1kg, r =20cm. Le moment d'inertie par rapport à son axe
de rotation de la poulie est : I?=0,5.M.r2. On prendra l'accélération de
la pesanteur égale à g=9,8m.s-2. Questions : 1-Faire un bilan des forces qui s'exercent
a/sur l'objet
b/sur la poulie 2-En appliquant le théorème du centre d'inertie à l'objet d'une part et le
théorème de l'accélération angulaire à la poulie d'autre part, donner les
expressions en fonction de m, M et g. a/de l'accélération ax de l'objet suspendu .Faire
l'application numérique
b/de la tension T dans le fil.
4-Déterminer la date t pour laquelle la vitesse angulaire de la poulie
devient égale à 10rad.s-1. 5-Donner les équations horaires x(t) de l'objet et ?(t) de la poulie.
Quelles sont les natures des mouvements :
a/ de l'objet.
b/ de la poulie Solution : 1-a/Les forces sont : le poids P de l'objet et la tension T exercée par le
fil sur l'objet (voir figure ci-dessous).
b/Sur la poulie, la tension T et la réaction de l'axe de rotation R. 2- a/pour l'objet, le théorème du centre d'inertie s'écrit :
[pic]
[pic][pic]
Projetons sur l'axe Ox,
[pic](1).
b/pour la poulie : le théorème de l'accélération angulaire s'écrit :
[pic]
[pic] en simplifiant :
[pic](2)
En éliminant T entre les équations (1) et (2),on obtient l'accélération et
la tension.
[pic]
[pic] L'application numérique donne :ax=6,5m.s-2. 4-L'accélération de l'objet est :[pic] m.s-2.
L'accélération est une constante positive. La primitive de l'accélération
donne la vitesse : [pic]
(la constante vo=0 car à t=0, la vitesse est nulle).
Comme x= r.?, l'équation de la vitesse s'écrit :
[pic] soit [pic] ,
Cela se produit à la date t= 0,2.10/6,5=0,3s
La dérivée seconde de ? (l'accélération angulaire) est constante. 5-
a/équation horaire de l'objet suspendu : x=3,25.t2 +xo=3,25.t2.
(la constante x0 est nulle car à t=0, x=0)
le mouvement de l'objet est une translation rectiligne uniformément
accélérée. b/équation horaire de la poulie :
?=x/r=(3.25/0.2).t2=16,25t2.
Le mouvement de la poulie est circulaire uniformément accéléré.