Durée : 4 h Physique Appliquée Pré-étude et modélisation ...

|Durée : 4 h |Physique Appliquée Pré-étude et modélisation |Coefficient |
| | |: 3 |
|BTS 2008 |Jeux d'eau au parc du château de Versailles |Métropole |
| |Réseau hydraulique | |
|Calculatrice |Hydraulique, MAS, Régulation | |
|autorisée | | |

Les parties A1, A2, B1, B2, B3 sont indépendantes
> Il sera tenu compte de la qualité de rédaction, en particulier pour
les réponses aux questions ne nécessitant pas de calcul. Le correcteur
attend des phrases complètes respectant la syntaxe de la langue
française.
> Utiliser les notations indiquées dans le texte, justifier toutes les
réponses, présenter clairement les calculs et les résultats.
ÉPREUVE E4.1

Jeux d'eau au parc du château de Versailles
Réseau hydraulique

[pic]
Les fontaines du parc du château de Versailles sont alimentées par
plusieurs réservoirs situés à une altitude supérieure à l'altitude des
fontaines. Lorsqu'on décide de faire « jouer » (suivant l'expression
consacrée) les fontaines, il suffit d'ouvrir des vannes ; l'eau s'écoule
naturellement par gravitation en créant les magnifiques jets d'eau des
différents parterres et bassins.
Nous n'étudierons pas exhaustivement le fonctionnement de tous les
bassins, et seule une partie du réseau hydraulique sera étudiée. Un croquis
établi à partir d'une vue aérienne de Versailles présente, à la figure 1,
les parties du réseau hydraulique qui vont être étudiées dans ce problème.
[pic]


Le spectacle actuel des grandes eaux étant bien plus long que sous le
règne du Roi-Soleil, les jeux d'eau du bassin de Latone subissent une
dégradation au cours du spectacle.

L'enjeu de l'étude est d'améliorer la qualité des jeux d'eau des fontaines
du bassin de Latone.

Ces fontaines sont alimentées par le réservoir sous terre Nord, comme
indiqué à la figure 1. Une modification de l'alimentation de ce réservoir
doit être réalisée pour répondre à cet enjeu. La problématique est alors la
suivante :

Comment maintenir constant le niveau du réservoir sous terre Nord pendant
la durée des jeux d'eau?

Le réservoir de Montbauron alimente une grande partie des fontaines
situées dans la partie supérieure du parc, en particulier le jet d'eau du
parterre Nord. Dans la première partie du problème nous allons nous
intéresser à ce jet d'eau. Le parcours idéalisé de la conduite
d'alimentation est représenté sur la figure 1. Cette première partie doit
nous permettre de comprendre comment garantir la hauteur d'un jet d'eau et
répondre ainsi à l'enjeu.
Dans la seconde partie de ce problème, nous nous intéresserons à la
solution retenue par le service des fontaines pour répondre à la
problématique énoncée ci-dessus.

A. COMMENT GARANTIR LA HAUTEUR D'UN JET D'EAU ?

Intéressons-nous à l'alimentation d'un seul jet d'eau, celui du
parterre Nord dont le circuit hydraulique est représenté figure 2 : c'est
un croquis et les distances ne sont pas représentées à l'échelle.
[pic]

L'eau s'écoule par gravitation du réservoir de Montbauron au bassin du
parterre Nord situé sur la grande terrasse. Une vanne V, commandée en tout
ou rien, permet d'empêcher ou d'autoriser l'écoulement. L'eau du jet est
récupérée dans le bassin et s'écoule par un trop plein vers d'autres
bassins non étudiés.
On rappelle que la masse volumique de l'eau ( est égale à 1000 kg.m-3.
On adoptera comme valeur de l'accélération de la pesanteur g = 9,81 m.s-
2.
La pression atmosphérique notée pat sera prise égale à 1,013 105 Pa.
Le fluide est considéré comme incompressible.

A.1.HAUTEUR DU JET D'EAU

Suivons le déplacement d'une petite masse m d'eau, entre les points A et
B représentés à la figure ci-dessous. On appelle [pic] la vitesse de
cette petite masse d'eau à la sortie de la conduite au niveau du bassin.
B est la position moyenne pour laquelle la vitesse est nulle.
On adopte une énergie potentielle nulle en A et on note hj la hauteur
moyenne du jet.
[pic]
A.1.1. Donner l'expression de l'énergie cinétique, notée EcA, de la petite
masse m d'eau en A.
A.1.2. Donner la valeur de l'énergie cinétique, notée EcB, de la petite
masse m d'eau en B.
A.1.3. Donner la valeur de l'énergie potentielle, notée EpA, de la petite
masse m d'eau en A.
A.1.4. Donner l'expression de l'énergie potentielle, notée EpB, de la
petite masse m d'eau en B.
A.1.5. En exploitant le principe de conservation de l'énergie mécanique,
trouver la relation existant entre la vitesse vA et la hauteur du jet
hj Calculer la valeur de hj lorsque vA = 17,4 m.s-1.
A.1.6. Quel phénomène a-t-on négligé ? Comment sera la hauteur du jet réel
par rapport à la valeur calculée ?

A.2.ETUDE DE L'ALIMENTATION DU JET D'EAU

A.2.1. En régime statique, la vanne V est fermée, calculer la pression pv
au niveau de la vanne du coté amont (coté de la canalisation 2).
A.2.2. En régime dynamique, la vanne V est maintenant ouverte, et on
suppose l'écoulement laminaire et permanent. Nous nous proposons
d'évaluer les vitesses de l'eau dans les différentes parties du
circuit hydraulique sans tenir compte des pertes de charge. On
adoptera une vitesse d'écoulement égale à zéro au point C (en raison
de la grande surface du réservoir de Montbauron) ; et on s'appuiera
pour les raisonnements sur le document réponse 1.
On peut appliquer le principe de conservation de l'énergie le long de
cet écoulement. Elle est traduite par l'équation de Bernoulli :
[pic]
A.2.2.1. Que représente la grandeur p ?
A.2.2.2. Quelle est la valeur de p au point C, notée pC ? L'indiquer
sur le document réponse 1.
A.2.2.3. Quelle est la valeur de p au point A, notée pA ? L'indiquer
sur le document réponse 1.
A.2.2.4. Que représente la grandeur z ?
A.2.2.5. Quelle est la valeur de z au point A, notée zA ? L'indiquer
sur le document réponse 1.
A.2.2.6. Quelle est la valeur de z au point C, notée zC ? L'indiquer
sur le document réponse 1.
A.2.2.7. Que représente la grandeur v ?
A.2.2.8. Quelle est la valeur de v au point C, notée vc ? L'indiquer
sur le document réponse 1.
A.2.2.9. En utilisant l'équation de Bernoulli, calculer la valeur de v
au point A, notée vA.
A.2.2.10. On rappelle l'expression du débit volumique Q d'un fluide
s'écoulant à la vitesse v dans une canalisation qui a une section
de surface S : Q=Sv où Q est en m3.s-1, v en m.s-1 et S en m2.
Calculer la valeur du débit volumique Q au point A si le diamètre
de la section de la tuyère est dA=110 mm.
A.2.2.11. Quelle est la grandeur qui se conserve le long du circuit
hydraulique?
A.2.2.12. En déduire les vitesses dans les deux canalisations : v1
dans la canalisation de diamètre d1 = 900 mm et v2 dans la
canalisation de diamètre d2 = 500 mm.
A.2.3. Ces vitesses permettent de déterminer les pertes de charges totales
J du circuit hydraulique que l'on prend égales à 17,8 J.kg-1. La
nouvelle équation de Bernoulli est :
[pic]
A.2.3.1. Calculer la nouvelle valeur de la vitesse v'A au point A.
A.2.3.2. A quelle perte de hauteur d'eau correspondent ces pertes de
charge?

A.3. RETOUR SUR L'ENJEU

A.3.1. Sachant que l'alimentation de tous les jets d'eau alimentés par le
réservoir de Montbauron correspond à un débit de 2500m3.h-1 et que les
jeux d'eau durent 1 heure 30 minutes, calculer le volume d'eau
utilisé. Ce volume est noté Vmb.
A.3.2. En déduire la diminution (H du niveau dans le réservoir de
Montbauron, sachant que la surface Smb de ce réservoir est 16000m2.
Quelle serait la conséquence d'une diminution importante de ce niveau
?

B. SOLUTION RETENUE POUR MAINTENIR UN NIVEAU CONSTANT

Les fontaines du bassin de Latone sont alimentées par le réservoir sous-
terre Nord de volume beaucoup moins important que celui de Montbauron. Le
dénivelé entre le niveau d'eau dans ce réservoir et les jets d'eau
concernés étant moindre qu'à l'étude précédente, la diminution du niveau,
de ce réservoir au cours des jeux d'eau a une influence relative plus
grande.

La solution retenue par fontaines pour assurer la qualité des jets d'eau
du bassin de Latone comprend une modification du circuit hydraulique, qui
n'est pas étudiée dans ce problème, et une régulation du niveau de ce
réservoir. Les éléments assurant cette régulation sont représentés à la
figure 3.

> VR est une vanne de régulation dont l'ouverture permet de contrôler le
débit de remplissage du réservoir.
> Le moteur asynchrone permet de régler l'ouverture de la vanne.
> Le capteur de niveau permet de transmettre la valeur réelle du niveau
à l'organe de contrôle
> L'organe de contrôle comprend un régulateur dont les réglages
conditionnent le comportement de la boucle de régulation


[pic]
Nous allons étudier les différents éléments de la solution retenue.

B.1.DIMENSIONNEMENT DU SERVOMOTEUR QUI ACTIONNE LA VANNE