Exercice 1 - Colegio Francia

Exercice 1. (10 min)
Démontrer par récurrence que pour tout n différent de 0, on a :
[pic]ou encore que [pic]
Soit à démontrer par récurrence que [pic]
Pn0=1 : 13 = 1² On suppose que [pic], c'est-à-dire [pic] [pic]
Exercice 2. (1 heure)
Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner que
de perdre la première partie. On admet que, si elle gagne une partie, la
probabilité qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une
partie, la probabilité qu'elle perde la partie suivante est 0,7. On note, pour n entier naturel non nul :
Gn : l'événement "Juliette gagne la nième partie".
Pn : l'événement "Juliette perd la nième partie". Partie A.
1. Déterminer les probabilités p(G1) ; [pic] ; [pic]. En déduire p(G2).
2. Calculer p(P2).
Partie B.
On pose pour n entier naturel non nul, xn = p(Gn) et yn = p(Pn). 1. Déterminer, pour n entier naturel non nul , les probabilités :
[pic] et [pic].
2. Montrer que pour tout n entier naturel non nul :
[pic]
3. On pose vn = xn + yn et wn = 4xn - 3yn.
a. Montrer que la suite (vn) est constante et donner son terme
général.
b. Montrer que la suite (wn) est géométrique et exprimer wn en
fonction de n.
4. a. Déduire de la question précédente l'expression de xn en
fonction de n.
b. Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite. [pic]
A1.
P(G1) = 0,5 ; [pic] ; [pic] ; [pic]
de même :
A2.
[pic] ou plus simplement 1 - 0,45 = 0,55.
B1.
[pic] est la probabilité de perdre la partie n+1 sachant qu'on a gagné la
précédente, soit [pic]
[pic] est la probabilité de gagner la partie n+1 sachant qu'on a perdu la
précédente, soit [pic]
B2.
[pic]
[pic]
[pic]
B3.a. [pic]
La suite vn est constante et quel que soit n non nul, vn = v1 = 0,5 + 0,5 =
1 [pic]
w1 = 4x1 - 3y1 = 4(0,5 - 3(0,5 = 0,5 wn est une suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme 0,5. [pic] (attention, le premier terme est w1)
B3.b. Soit à résoudre le système :
[pic]
en multipliant la première ligne par 3 et en additionnant membre à membre :
[pic]
B4
[pic] car, comme 0,30 et vn >0.
3. a. Démontrer que quel que soit n de IN, [pic]
b. En déduire que quel que soit n de IN : [pic]
c. Conclure que quel que soit n on a un - vn ( 0.
4. En s'aidant de la question 3.c., prouver que la suite (un) est
décroissante et que la suite (vn) est croissante.
5. a. Démontrer que quel que soit n de IN*, [pic]
b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que [pic]
c. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que [pic]
d. Déterminer la limite de un - vn à l'infini.
6. Conclure que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et déterminer
leur limite commune.
7. Justifier que u3 est une approximation de [pic]à 10-7 près.
Remarque : Cette méthode est celle utilisée par le mathématicien grec Héron
(1er siècle) pour déterminer une approximation des racines carrées.
Correction
1.
[pic] ;
[pic] ; [pic] ;
[pic] ; [pic]
[pic] ; [pic]
Il semble que les suites tendent vers [pic]
2.
Pn : un > 0 et vn > 0. P0 : u0 = 3 > 0 et v0 = 7/3 > 0 Po est vérifiée. Supposons Pn vraie.
[pic] puisque un et vn sont positifs.
et bien sûr il en résulte que [pic]
On a bien, quel que soit n de IN, un >0 et vn >0. 3.a.
[pic]
3.b.
[pic]
3.c.
De l'égalité précédente, on conclut que un+1 - vn+1 est strictement positif
quel que soit n., c'est-à-dire en remplaçant n+1 par n, on a un - vn
positif pour n ( 1. Il faut vérifier que l'inégalité est aussi vraie pour n
= 0. [pic]
Conclusion : Quel que soit n de IN, on a un - vn > 0 ou encore un > vn.
4.
[pic] car vn - un < 0
[pic] car un+1 - un < 0 et un >0 quel que soit n.
Conclusion, la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est
croissante. 5.a.
On sait que un > vn or la suite vn est croissante, donc vn > v1, on a donc
: [pic]
5.b.
Par équivalence : [pic]
On sait que [pic] d'où le résultat.
5.c.
Pn : [pic]
Vérifions P0 :
[pic]
Considérons Pn vraie, démontrons Pn+1 :
On sait que [pic]
5.d.
On a : [pic] et on sait que [pic], donc, d'après le théorème des gendarmes,
[pic]
6. Les suites (un) et (vn) sont adjacentes elles sont donc convergentes
vers la même limite l.
Celle-ci vérifie la relation [pic]
[pic]
Remarque : la rapidité de la convergence est impressionnante, on se trouve
en présence d'une convergence dite quadratique.