TD Cinematique 9 - Site de la PCSIa

T.D. Cinématique 9

Exercice n°1 : Système bielle manivelle.

Dans un exercice précédent, on avait déterminé graphiquement la
vitesse de translation du piston en fonction de la vitesse de rotation de
la manivelle pour une position donnée du mécanisme. On souhaite maintenant
déterminer la vitesse de translation du piston de façon générale, c'est à
dire que l'on souhaite trouver une relation du type (B(3/0) = = f(?) .
On note OA = R , AB = L , = x , ? = ( , ) et ? = ( , )

1 - Donner le graphe des liaisons de ce mécanisme.
2 - En écrivant la fermeture de chaîne géométrique, trouver deux
relations scalaires liant x, ? et ? ( et les paramètres géométriques
constants du mécanisme L et R ).
3 - En écrivant la fermeture de chaîne cinématique, trouver deux
relations scalaires liant x, ?, ? et leurs dérivées par rapport au temps (
et L, R ).
4 - Montrer que les systèmes d'équations trouvés aux questions 2 et 3
sont équivalents.
5 - Déterminer la loi entrée/sortie : x = f(?) ( paramètrée
par R et L .


Exercice n°2 : Pompe.
Le dessin ci-dessous représente la vue en coupe à l'échelle 1 d'une
pompe.
Le schéma cinématique de cette pompe est également représenté ci-
contre.
On retrouve sur les deux représentations les mêmes solides numérotés,
les mêmes points caractéristiques ainsi que les mêmes systèmes d'axes.

Cette pompe est constituée de différents éléments :
- Un corps (0) auquel on attache un repère de référence R(O, ,
, ). Sur le dessin il est représenté par plusieurs domaines hachurés (de la
même manière) ainsi que par des domaines non hachurés séparant les domaines
hachurés et signifiant que le plan de coupe passe par des parties creuses.
Comme partie creuse, on retrouve une conduite d'admission du fluide à
pomper CA et une conduite de refoulement du fluide pompé CR. Solidaire
totalement de ce corps on aperçoit un couvercle (0') représenté également
par des domaines hachurés (d'un autre type de hachures) et des domaines non
hachurés. Ce couvercle (0') est maintenu sur le corps (0) par deux écrous
(0'').
- Un ensemble d'éléments oscillants constitué, d'un cylindre
(3) d'axe (B,) en liaison pivot de même axe avec le corps (0), et d'une
chemise de piston (3') ( pièce tubulaire d'axe (B,) encastrée serrée dans
le cylindre (3) ).
- Une manivelle (1) en liaison pivot d'axe (O,) avec le corps
(0).
- Un piston (2) pièce globalement de révolution d'axe en
liaison pivot d'axe (A,) avec la manivelle (1) et en liaison pivot glissant
d'axe avec la chemise de piston (3'). On attache à ce piston un repère R2
(A, , ,). On notera que l'angle ? = ( , ) est négatif sur la figure.
Bien que situé dans le plan de coupe, on ne coupe pas ( donc on ne hachure
pas ) le piston, car c'est une pièce pleine, donc il n'y a pas de détails à
l'intérieur qu'une coupe permettrait de voir.
On remarquera sur le dessin, le petit trou TA dans la pièce (3) et
celui dans la pièce (0) permettant la communication entre la conduite
d'admission et la chambre du piston. On remarquera que les trous
équivalents TR pratiqués au niveau de la conduite de refoulement de sont
pas en communication.
On pose OA = R , AB = x et OB= L

[pic]

1 - Sachant que la manivelle (1) est entraînée à 1500 tr/mn, calculer
le débit moyen Qm de la pompe.
2 - Donner le graphe des liaisons pour ce mécanisme.
3 - En écrivant la fermeture de chaîne géométrique, trouver deux
relations liant les paramètres x, ? et ?.
4 - En écrivant la fermeture de chaîne cinématique, trouver deux
relations liant x, ?, ? et leurs dérivées par rapport au temps.
5 - Montrer que les systèmes d'équations trouvés aux questions 3 et 4
sont équivalents.
6 - Déterminer la loi = f(?,). En déduire le tracé du débit
instantané de la pompe en fonction de ?.


Exercice n°3 : Liaisons équivalentes
1 - Quelle est la liaison équivalente à une liaison rotule de centre
O et une liaison pivot glissant d'axe passant par O, en série ?

2 - Quelle est la liaison équivalente à deux liaisons linéaires
rectilignes de lignes de contact parallèles, en parallèle ? (Cas d'un
cylindre situé entre deux plans parallèles appartenant à la même pièce)

Exercice n°4 : Joint de Cardan.
Un joint de Cardan, schématisé ci-dessous, permet de transmettre le
mouvement de rotation d'un arbre moteur lié à (1) vers un arbre récepteur
lié à (3).
[pic]
L'arbre d'entrée (1) est en liaison pivot d'axe (O,) avec le
bâti (0).
L'arbre de sortie (3) est en liaison pivot d'axe (O,') avec le
bâti (0).
Le mouvement de rotation est transmis d'un arbre à l'autre par
l'intermédiaire du croisillon lié à (1) par une liaison pivot d'axe (0,) et
lié à 3 par une liaison pivot d'axe (0,).
L'arbre d'entrée (1) et l'arbre de sortie (3) sont concourants en O
et font un angle de brisure ? = ( , ' ) entre eux.
Les deux repères R0 (O, , , ) et R0' (O, ', ', ) sont fixes, ils sont
liés au bâti, ils sont tournés de l'angle ? autour de l'un par rapport à
l'autre.
Le repère R1(O, 1, 0, 1) est lié à l'arbre d'entrée (1) et le repère
R3(O, 3, 0', 3) est lié à l'arbre de sortie (3).

1 - Compte tenu de la forme du croisillon 2, les vecteurs et sont
perpendiculaires. Ecrire les vecteurs et en fonction des paramètres du
système et exprimer le fait qu'ils sont perpendiculaires pour trouver une
relation entre ?10 , ?30 et ?.
2 - En déduire la relation ?30 = f(?10, ?).?10 . On pose 1/0 = ?10
= 10 et 3/0 = ?30 ' = 30 '.
3 - Ce joint de transmission entre deux arbres est-il homocinétique ?
(vitesses de rotation des arbres d'entrée et de sortie proportionnelles)

Exercice n°5 : Liaison équivalente à un roulement à billes à contact
oblique
Un roulement à billes à contact oblique d'axe comporte une bague
intérieure (0), une bague extérieure (E), et des billes numérotées 1,2
3,...Chaque bille (n) est en contact ponctuel en An avec (0) et en Bn avec
(E), la normale au contact étant .
1 - Tracer le graphe des liaisons de ce roulement dans le cas où il
possèderait 4 billes.
2 - Pour la bille (1) déterminer la liaison équivalente aux deux
liaisons ponctuelles en A1 et B1.
3 - Pour 4 billes régulièrement réparties, montrer que la liaison
équivalente au roulement (liaison entre (0) et (E)) est une liaison rotule
de centre O.
Exercice n°6 : Transformation de mouvement par Croix de Malte (capsuleuse
de bocaux)
Un mécanisme de transformation par Croix de Malte a pour but de
transformer un mouvement continu de rotation en un mouvement intermittent
de rotation. Les figures 1 et 2 représentent un tel mécanisme. Il est
constitué :
- d'un maneton 1 en liaison pivot d'axe (A,) avec le bâti 0
- d'un galet cylindrique 2, de rayon R2, en liaison pivot
d'axe (B,) avec le maneton 1
- d'une roue 3 (Croix de Malte) en liaison pivot d'axe (O,)
avec le bâti 0.

Le maneton 1 est animé d'un mouvement continu de rotation, repéré par
l'angle ? ( > 0 ; ' cte) .

La roue 3 possède un nombre Z de rainures dans lesquelles peut
s'engager le galet 2, faisant alors pivoter la roue 3 pendant un instant.
Cette rotation est repérée par l'angle ? ( ? 0).

Ensuite, le galet 2 se désengage de la rainure de la roue 3, celle ci
reste alors immobile tant que le galet ne s'est pas engagé dans la rainure
suivante.

Le contact galet 2 / roue 3 est repéré par le point C.

Sur la figure 1, le maneton 1 tournant dans le sens trigonométrique,
le galet 2 s'engage dans la rainure. L'angle ? a une valeur particulière ?0
et les points A, B et C sont alignés.

D'une manière générale, l'engagement du galet 2 dans la roue 3, ainsi
que son dégagement se font normalement à la rainure. L'angle entre deux
rainures successives est donc 2?0.

La figure 2 représente le mécanisme dans une configuration
quelconque.

L'entraxe OA est noté E. La distance allant de l'axe du demi cylindre
de fond de rainure, à l'axe de rotation de la roue 3, est noté I.

I - Etude géométrique.
1 - Déterminer, à partir de la figure 1, les relations donnant
?0 fonction de Z et E fonction de R1 = AB et de Z.
2 - En déduire la relation donnant la plus grande valeur admissible
pour I, c'est à dire IMaxi , en fonction de R1 et Z.
3 - Déterminer en fonction de ?0 , l'angle ?? pendant lequel le
maneton 1 entraîne la roue 3.
4 - En déduire, en fonction de Z, la fraction tm d'un tour complet du
maneton 1 pendant laquelle il entraîne la roue 3 et la fraction tr d'un
tour complet du maneton 1 pendant laquelle la roue 3 est au repos.

5 - Application numérique pour Z = 2. Conclure quant au nombre
minimal de rainures Zmini nécessaire pour qu'il y ait entraînement de la
roue 3 par le maneton 1.

6 - Ecrire, à partir de la figure 2, la fermeture géométrique de la
chaîne simple fermée 0, 1, 2, 3.
7 - En déduire la loi entrée sortie ? fonction de ? et ? avec ? = .

II - Etude cinématique.
8 - A partir de la loi entrée sortie démontrée à la question 7, et en
supposant que le maneton 1 tourne à vitesse angulaire constante par rapport
au bâti 0 ( = ? = cste), déterminer, pour la roue 3, la vitesse angulaire
fonction de ?, ? et ?.

9 - En déduire l'accélération angulaire fonction de ?, ? et ?.
10 - Calculer et lorsque le galet 2 s'engage dans la roue 3, puis
lorsqu'il se désengage.
11 - Donner l'a