Bac maths S 1997 - Groupe I

Bac S 1997 - Groupe I - Paris

Exercice commun : probabilités - obligatoire et spécialité : complexes -
problème : fonction logarithme exponentielle.

Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_1997/bac_s_groupe_1_1997.doc

BACCALAUREAT GENERAL - Session 1997
Epreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9

OBLIGATOIRE et SPECIALITE




L'utilisation d'une calculatrice est autorisée


Le candidat doit traiter les DEUX exercices et le problème. La qualité de
la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour
une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques, prévu par l'arrêté du 27 mars
1991, et deux feuilles de papier millimétré sont joints au sujet.

Dès que le sujet vous est remis assurez-vous qu'il est complet.
Ce sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.

EXERCICE 1 (4 points) commun à tous les candidats

Trois dés cubiques sont placés dans une urne.
Deux de ces dés sont normaux : leurs faces sont numérotées de 1 à 6.
Le troisième est spécial : trois de ses faces sont numérotées 6, les trois
autres sont numérotées 1.

On tire de l'urne, simultanément et au hasard, deux dés parmi les trois et
on les lance.
On note A l'événement : "les deux dés tirés sont normaux ".
On note B l'événement : "les deux faces supérieures sont numérotées 6".

1.a. Définir l'événement contraire de A que l'on notera [pic].

b. Calculer les probabilités de A et de [pic].

2.a. Calculer p(B/A), probabilité de B sachant que A est réalisé, puis p(B
( A).

b. Calculer p(B).

3. Calculer p(A/B), probabilité de A sachant que B est réalisé.
EXERCICE 2 (5 points) pour les candidats ayant suivi l'enseignement de
spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé (O; [pic], [pic]).
L'unité graphique est 3 cm.
Tout point M du plan est repéré par son affixe z.

1. Déterminer et représenter l'ensemble E des points M du plan tels que |z|
= 3.

2. On considère la transformation T qui à tout point M du plan distinct de
O associe le point M' d'affixe z' telle que :
z' = [pic].

a. Calculer la partie réelle et la partie imaginaire de z' en fonction du
module et de l'argument de z.

b. Déterminer et représenter l'ensemble E', dont les éléments sont les
points M' images des points M de E. Préciser ses éléments caractéristiques.

3. Soit N le point d'affixe [pic].
Montrer que M' est le milieu de [MN].
4. Soit A le point d'affixe [pic].
Montrer que, lorsque le point M décrit la demi-droite [OA) privée du point
O, le point N décrit une demi-droite D.
Tracer D.

5. Montrer que l'image de la demi-droite [OA) privée du point O par la
transformation T est une partie d'une hyperbole H. Représenter H après
avoir donné ses éléments caractéristiques.


EXERCICE 2 (5 points) candidats n'ayant que l'enseignement obligatoire

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O; [pic],
[pic]) ayant comme unité graphique 4 cm. On note A, B et C les points
d'affixes respectives 2i, -1 et i.

On considère l'application f de P-{A} dans P qui, à tout point M de P-{A}
d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' telle que :
z' = [pic].
1.a) Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice.

b) Déterminer l'affixe du point C' image de C. Quelle est la nature de
quadrilatère ACBC' ?

c) Montrer que le point C admet un unique antécédent par f que l'on notera
C'
Quelle est la nature du triangle BCC'

2. Donner une interprétation géométrique de l'argument et du module de z'.

3. Déterminer, en utilisant la question précédente, quels sont les
ensembles suivants :
a) l'ensemble E des points M dont les images par f ont pour affixe un
nombre réel strictement négatif.

b) l'ensemble E des points M dont les images par f ont pour affixe un
nombre imaginaire pur non nul

c) l'ensemble E des points M dont les images appartiennent au cercle de
centre O et de rayon 1.


PROBLÈME (11 points) commun à tous les candidats


PARTIE A


Soit la fonction ( définie dans R par
( (x) = ex + x + 1.

1. Étudier le sens de variation de ( et ses limites en + ( et - (.

2. Montrer que l'équation ( (x) = 0 a une solution et une seule ( et que
l'on a :
-1,28 < ( < -1,27

3. En déduire le signe de ( (x) sur R.


PARTIE B

Soit la fonction f définie sur R par
f(x) = [pic]
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; [pic]
,[pic] ) du plan (unité graphique : 4 cm).
1. Montrer que : f '(x) = [pic].
En déduire le sens de variation de f.

2. Montrer que f(() = ( + 1 et en déduire un encadrement de f(().

3. Soit T la tangente à (C) au point d'abscisse 0.
Donner une équation de T et étudier la position de (C) par rapport à T.

4. Chercher les limites de f en + ( et - (.
Démontrer que la droite D d'équation y = x est asymptote à (C) et étudier
la position de (C) par rapport à D.

5. Faire le tableau de variation de f.

6. Tracer sur un même dessin (C), T et D. La figure demandée fera
apparaître les points de (C) dont les abscisses appartiennent à [-2,4].


PARTIE C


On considère la fonction g, définie sur [0,1] par :
g(x) = ln(1 + ex).

On note (L) la courbe représentative de g dans le repère (O; [pic] ,[pic]),
I le point défini par [pic] , A le point d'abscisse 0 de (L) et B son point
d'abscisse 1.

1. Étudier brièvement les variations de g.

2. Donner une équation de la tangente en A à (L).

3. On note P l'intersection de cette tangente avec le segment [IB].
Calculer les aires des trapèzes OIPA et OIBA.

4. On admet que la courbe (L) est située entre les segments [AP] et [AB].
Montrer alors que : [pic].
5. Au moyen d'une intégration par parties, justifier que :
[pic].
6. En déduire un encadrement de [pic].