STATISTIQUES Exercices Exercice 1. Moyenne d'une série ...

STATISTIQUES





Exercices
Exercice 1. Moyenne d'une série statistique
Siloé a eu les notes suivantes en mathématiques : 12 ; 11 ; 8 ; 7 ; 13.
a) Elle calcule sa moyenne et trouve 13,5. Sans faire de calcul comment
peut-on être sûr qu'elle s'est trompée.
b) Calculer sa moyenne.

Exercice 2. Moyenne pondérée
Lucas a eu 7 notes en français au cours du 1er trimestre :
- trois notes d'interrogation surprise : 14 ; 12 et 7 qui ont 1 de
coefficient ;
- deux notes de devoir rédigé à la maison : 15 et 13 de coefficient 2 ;
- trois notes de contrôle : 12 ; 9 et 11 de coefficient 3.
Quelle est sa moyenne du 1er trimestre ?

Exercice 3. Médiane et étendue
a) (1) Trouver la médiane de la série : 12 ; 2 ; 27 ; 15 ; 13 ; 16 ; 7.
(2) Quelle est l'étendue de cette série ?
b) (1) Trouver la médiane de la série : 15 ; 12,5 ; 17 ; 5 ; 25 ; 36 ; 4,5
: 12.
(2) Quelle est l'étendue de cette série ?

Exercice 4. Quartile
Trouver le 1er et le 3e quartile de la série :
27 ; 12 ; 4,5 ; 16 ; 25 ; 18 ; 7 ; 15 ; 12,5 ; 26 ; 18,5 ; 11.



1. Vocabulaire


Le but de toute étude statistique est d'obtenir des informations qui
mettent en évidence certains aspects d'un ensemble de données. Ces données
peuvent être recueillies à partir d'observations, d'enquêtes,
d'expériences... Elles peuvent être organisées dans des tableaux ou
représentées à l'aide de diagrammes ou de graphiques .

Une étude statistique s'effectue sur ce qu'on appelle une population dont
les éléments sont appelés individus. Sur ces individus, on choisit
d'étudier un aspect que l'on appelle un caractère.

Par exemple dans un groupe d'étudiants qui prépare le CRPE (population dont
les individus sont les étudiants) on peut étudier leur nombre de frère et
s?urs (caractère) on bien la nature de leur licence (caractère) ou bien
leur taille (caractère).
Un caractère est donc une propriété commune aux individus d'une population.

Cet exemple met en évidence deux types de caractères :
- des caractères qualitatifs, comme par exemple la nature de la licence ;
- des caractères quantitatifs comme le nombre de frères et s?urs ou la
taille (les valeurs possibles de ces caractères sont des nombres). Parmi
ces caractères, on peut distinguer deux sous catégories :
- des caractères quantitatifs discrets comme le nombre de frères
et s?urs (les valeurs possibles de ces caractères est des nombres
entiers) ;
- des caractères quantitatifs continus comme la taille des
étudiants.

L'effectif d'une valeur d'un caractère est le nombre d'individus de la
population étudiée qui a cette valeur.

La fréquence d'une valeur d'un caractère est le quotient de l'effectif de
cette valeur par l'effectif total. Elle est généralement exprimée en
pourcentage.



Exercice 5

|Voici un diagramme circulaire |[pic] |
|représentant la répartition des | |
|terres d'une commune de 420 ha en | |
|fonction de la destination des | |
|zones : | |
| | |
|Effectuer un tableau pour | |
|rassembler les effectifs (en ha) | |
|et les fréquences des différentes | |
|destinations des zones. | |


2. Moyenne et médiane

Exercice 6
Stéphanie dit à son ami : « On vient de nous rendre les notes du concours
blanc, j'ai eu 11 et il y a autant d'étudiants de mon groupe qui ont plus
que moi que d'étudiants qui ont moins que moi ».
Son ami : « Alors la moyenne du groupe est de 11 ».
Voici les notes du groupe de Stéphanie : 13 ; 5 ; 6 ; 7 ; 7 ; 8,5 ; 9 ; 9,5
; 10 ; 12 ; 10 ; 6,5 ; 10,5 ; 11; 11,5 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12 ; 12,5 ; 13 ; 14
; 15 ; 8 ; 15.
(1) Stéphanie a-t-elle raison ?
(2) Sans calculer la moyenne, peut-on savoir si son ami a tort ou raison ?
(3) Vérifier la réponse en calculant la moyenne.

2.1. Moyenne

La moyenne de données statistiques est le nombre obtenu en additionnant ces
données et en divisant par le nombre de valeurs.

C'est donc la valeur unique que devraient avoir tous les individus d'une
population pour que le total des valeurs soit inchangé.

EXERCICE 7
a) Dans une station d'essence la caissière a noter la quantité en litre
achetée par les 5 premiers clients du matin : 45,7 ; 56,8 ; 35,6 ;
37,6 ; 46.
Quelle est la quantité moyenne achetée par ces clients ?
b) Après avoir noté la quantité d'essence achetée par le 6e client, elle
calcule la quantité moyenne achetée par les six premiers clients et
trouve : 43,8 L. Quelle quantité d'essence a pris le 6e client ?

EXERCICE 8
Un bûcheron a coupé six arbres qui en moyenne faisaient 35 cm de diamètre.
Il en coupe un 7e et après calcul il constate que la moyenne des diamètres
des arbres coupés est de 36 cm.
Est-ce possible de calculer le diamètre du 7e arbre ? Si oui, quel est ce
diamètre ?

EXERCICE 9
a) On connaît la moyenne d'une série statistique. On multiplie tous les
termes de cette série par un nombre k.
Y a-t-il une relation entre la moyenne de cette nouvelle série et la
moyenne de la précédente ? Si oui laquelle ?
Démontrer votre conjecture avec une série de 3 termes.
b) Même question si on ajoute un même nombre à chaque terme de cette
série.

EXERCICE 10
Dans une classe de 27 élèves, un enseignant calcule la durée moyenne de
travail quotidien à la maison de ses élèves. Pour les 10 filles de la
classe, il trouve une moyenne de 25 minutes et il trouve une moyenne de 15
minutes pour les garçons.
Quelle est la durée moyenne de travail de l'ensemble des élèves de cette
classe ?

EXERCICE 11
Dans une classe de 25 élèves il y a 15 filles. Les filles ont une taille
moyenne de 1,62 m et les garçons de 1,75 m.
Quelle est la taille moyenne des élèves de cette classe ?

2.2. Moyenne pondérée

Dans certaines situations on souhaite donner plus d'importance à certaines
valeurs d'une série statistique, pour cela on leur affecte un coefficient.
On peut alors calculer la moyenne pondérée de cette série.

La moyenne pondérée d'une série statistique est le nombre obtenu en
additionnant les produits de chaque valeur par leur coefficient et en
divisant le résultat par la somme des coefficients.

EXERCICE 12
Un enseignant de maths annonce à ses étudiants : les devoirs maison auront
1 pour coefficient et les contrôles en classe auront 3 pour coefficient.
Un élève obtient 15 ; 18 ; 12 pour les devoirs à la maison. Il obtient 9,5
et 11 pour les contrôle en classe.
Quelle est la moyenne de cet élève ?
EXERCICE 13
Un professeur des écoles a réalisé un diagramme en bâton avec les notes
obtenues par es élèves d'une classe de CE1 à la dernière évaluation de
mathématiques :


|Notes | |
|[pic]Effectif | |
| | |
| | |
| |Trouver la moyenne obtenue par |
| |ses élèves. On donnera une |
| |valeur approchée à 0,1 près par |
| |excès. |

EXERCICE 14
Dans un examen l'épreuve de français a pour coefficient 3, l'épreuve de
maths 4 et l'épreuve de langue coefficient 2.
Un étudiant a obtenu 12 en français 8 en mathématiques. Combien doit-il
avoir en langue pour réussir l'examen, c'est-à-dire avoir au moins une
moyenne de 10 ?

EXERCICE 15
Un étudiant a obtenu 12 en mathématiques (coefficient 4), 8 en langue
(coefficient 1) et 9 en français. Quel doit être le coefficient de la note
de français pour qu'il obtienne une moyenne de 10..

2.3. Médiane
La médiane d'une série statistique est un nombre tel que lorsque cette
série est classée dans l'ordre croissant il y a autant de données
supérieures à lui que de données inférieures.

Méthode de calcul de la médiane :
Les N données numériques relatives à un caractère sont rangées dans
l'ordre croissant :
- si N est impair, N = 2n + 1 alors la médiane est la donnée de rang n + 1
- si N est pair, N = 2n alors la médiane est la demi-somme des données de
rang n et n + 1
S'il y a un nombre impair de données, la médiane est une donnée de la série
statistique sinon ce n'est pas le cas.

EXERCICE 16
a) Quelle est la médiane des données suivantes : 12 ; 15 ; 5 ; 17 ; 25 ; 22
; 16.
b) Même question pour les données suivantes : 5 ; 12 ; 17 : 6 ; 1 ; 25.

EXERCICE 17
Quelle est la médiane des séries suivantes :
a) 127 ; 125 ; 35 ; 45 ; 26 ; 102 ; 49.
b) 12.5 ; 15 ; 16 ; 5,5 ; 21 ; 7.




3. Étendue

L'étendue de données statistiques est la différence entre la plus grande et
la plus petite de ces données.

4. 1er et 3e quartile
Des données statistiques sont rangées dans l'ordre croissant :
- le 1er quartile est le plus petit élément Q1 des données, tel qu'au moins
25% des données sont inférieures ou égales à Q1 ;
- le 3e quartile est le plus petit élément Q3 des données, tel qu'au moins
75% des données sont inférieures à Q3.


On peut représenter les quartiles d'une série statistique avec le diagramme
ci-dessous, appelé « boîte à moustaches ».

METHODE :
Pour déterminer le 1er quartile d'une série statistique on range les termes
dans l'ordre croissant puis on divise le nombre de terme N par 4 :
- 1ER CAS : si N est divisible par 4 alors si q est le quotient le 1er
quartile est le q-ième terme de la série et le 3e quartile est le 3q-ième
terme.
- 2E CAS : si N n'est pas divisible par 4 alors on détermine le plus petit
entier supérieur au quotient décimal de N par 4. Cet entier est le rang du
1er quar