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Chapitre 3
LES SOLIDES, LA SPHÈRE





Ici table des matières :
Les solides 58
Sections par un plan 60
La leçon 61
Exercices 66
Corrigés des exercices 70


Les solides

Exercice 1
[pic]

En découpant un coin d'un cube en bois, on a obtenu le solide ci-contre.
Maintenant, on découpe de la même façon les sept autres coins du cube.
Quel est le nombre f des faces du solide obtenu, le nombre s de ses
sommets, et le nombre a de ses arêtes?



Exercice 2
Dessiner les vues de face, de droite, de gauche et de dessus des solides
suivants :








Exercice 3
[pic]
Recopier et compléter le tableau des mesures ci-dessous; on donnera les
valeurs exactes :





|EF | |1 |9 |3 |3 |
|FG |3 |2 | | | |
|CG |6 |2 |2 | |6 |
|EG | | | |12 |8 |
|EC |7 | |13 |20 | |
|Aire totale du | | | | | |
|solide | | | | | |
|Volume du solide| | | | | |

Exercice 4
Exprimer chacun de ces volumes dans l'unité permettant l'écriture la plus
courte :
|12 500 dam3 = | |17 000 000 cm3 =| |
|200 000 m3 = | |3 500 hm3 = | |
|0,003 5 dam3 = | |0,000 008 km3 = | |
|6 500 000 000 | |0,000 068 dam3 =| |
|cm3 = | | | |

Exercice 5
[pic]
Reproduire sur un quadrillage le prisme ci-contre dans lequel I est le
milieu de [AD].
Représenter le point J, intersection de l'arête [EF] avec le plan contenant
le triangle BGI. Quelle est la nature du quadrilatère AIJF?
Placer le point K, intersection de l'arête [DC] et du plan parallèle au
plan ACF passant par J.
On suppose que FH = 6 cm. Calculer IK.






Exercice 6























Exercice 7
1. Un cylindre droit a une aire latérale de 47,1 m² et une hauteur de 2,4
m. Quel est le rayon d'un disque de base?
1. Calculer la hauteur d'un cylindre de volume V et de rayon R dans les cas
suivants :
V = 220 cm3 et R = 2,5 cm
V = 12 dm3 et R = 15 cm.
2. Calculer la hauteur puis le volume d'un cylindre droit dont l'aire
latérale est 101 cm² et le rayon d'un disque de base est 1,6 cm.

Sections par un plan


Section de pyramide et de cône par un plan parallèle à la base :












Lorsque l'on coupe l'un de ces solides par un plan parallèle à la base, on
fait apparaître dans la partie supérieure un solide de même nature, et dans
la partie inférieure un tronc de pyramide ou un tronc de cône.

Effet de la section sur les dimensions :
Si l'on réalise un dessin de la pyramide selon le plan passant par les
points S, O et B, on obtient la situation suivante :
Les droites (OB) et (O'B') étant parallèles, on se
trouve dans la situation de Thalès.
Il y a donc le même rapport entre SO' et SO qu'entre
O'B' et OB et qu'entre SB et SB'.
Autrement dit, si on sait que le plan coupe la pyramide
de sorte que les hauteurs soient dans un rapport k, il y
a le même rapport k pour tous les dimensions de la
pyramide.
Par exemple, si le plan coupe la pyramide aux de sa
hauteur à partir du sommet, alors O'B' = ( OB et SB' =
( SB.

Conséquence sur les aires et les volumes :
Puisque les aires se calculent en multipliant deux dimensions qui ont été
multipliées par k, elles seront elles-mêmes multipliées par k².
Puisque les volumes se calculent en multipliant trois dimensions qui ont
été multipliées par k, ils seront, eux, multipliées par k3 .



La leçon

1. Rappels : formules et unités 61
2. Définitions; Représentation de la sphère 63
3. Formules 63
4. Section de la sphère par un plan 63
5. La sphère terrestre. 64

1. Rappels : formules et unités

a) Le cube, le pavé
Le pavé a trois dimensions habituellement appelées longueur, largeur et
hauteur.
V = abc
Le cube est un cas particulier de pavé pour lequel les trois dimensions
sont identiques.
V = a ( a ( a = a3
Représentation en perspective cavalière :
Vocabulaire :
Un cube ( comme un pavé) a :
- 8 sommets
- 6 faces
- 12 arêtes
L'aire totale du cube, c'est l'aire des six faces, soit 6a²

b) le cylindre de révolution
Un cylindre possède deux bases parallèles qui sont des disques de rayon R.
Sa surface latérale est constituée d'un rectangle replié autour de ces deux
disques.
















Volume du cylindre :
V = B ( h où B est l'aire de la
base.
Aire du cylindre A = 2(R² + 2(Rh

c) Pyramides et cônes















Développement (patron) du cône :
Pour que le patron permette de construire un cône, il faut la longueur de
l'arc [pic]);AB) soit égale à la longueur du cercle de base.
Il faut donc que : ( ( = 2( r
Et après simplification : r = l ( .
Ce qui peut aussi s'écrire : =

C'est à dire que le rapport du rayon du disque de base à la génératrice est
égal au rapport de l'angle au centre à 360°.

d) Agrandissement réduction :
Si les dimensions d'un cône (ou d'une pyramide) sont multipliées par k,
alors les aires seront multipliées par k² et les volumes seront, eux,
multipliées par k3 .


2. Définitions; Représentation de la sphère

Une sphère a un centre O et un rayon R. Un point de la sphère est à la
distance R de O.
La boule est l'intérieur de la sphère.
Un grand cercle est un cercle de points de la sphère dont le centre est
celui de la sphère.














Pour donner l'impression de volume, on trace deux grands cercles à
diamètres perpendiculaires, que l'on représente par des ellipses.

3. Formules

L'aire de la sphère se calcule au moyen de la formule :
A = 4(R², où R est le rayon de la sphère.

Le volume de la boule se calcule au moyen de la formule :
V = 4/3.(R3, où R est le rayon de la sphère.

4. Section de la sphère par un plan


[pic]

Si on coupe une sphère par un plan, le plan coupe la sphère en deux
parties. La partie supérieure s'appelle une calotte sphérique.
Le plan fait apparaître sur la sphère un cercle dont le centre (ici le
point I) est un point d'un diamètre de la sphère. Ce cercle est appelé
petit cercle.


Plaçons-nous dans le plan contenant les points O, I et M.



Si on désigne par h la distance entre le point I et le centre O de la
sphère, et en appliquant le théorème de Pythagore au triangle rectangle
OIM, on obtient la relation :
OM est le rayon R de la sphère, donc :
R² = h² + r², d'où : r =





5. La sphère terrestre.

La Terre est une sphère (légèrement aplatie aux pôles) dont le rayon est
arrondi à 6 400 km.
Le segment formé par les deux pôles est un diamètre de la Terre.

L'équateur est un grand cercle de la Terre; sa longueur se calcule donc par
la formule : L = 2(R, où R est le rayon de la Terre. On obtient :
L ( 2 ( ( ( 6 400 ( 40 000 km.


Tous les méridiens sont d'autres grands cercles, passant eux par les deux
pôles, et leur longueur est aussi d'environ 40 000 km.

Un parallèle est un petit disque de la Terre, déterminé par la section de
la Terre par un plan parallèle au plan de l'équateur.
[pic]
La longueur d'un parallèle dépend de son rayon; ce rayon dépend de la
longueur séparant le centre du parallèle du centre de la Terre. Il peut se
calculer ainsi qu'il est montré au paragraphe 4.

Mais les parallèles ont été repérés d'une autre manière. C'est l'angle
formé par un point de l'équateur, le centre de la Terre et un point du
parallèle qui va permettre de déterminer le parallèle. Cet angle porte le
nom de latitude.
Plaçons-nous dans le plan contenant les points O, I et M.
Le point M est un point du parallèle de centre I.
La latitude de ce parallèle est l'angle (, formé par les points A, O et M.

Les droites (IM) et (AO) étant parallèles, les angles [pic]);IMO) et
[pic]);MOA) sont alternes - internes, donc égaux.
Donc dans le triangle IMO, on peut utiliser le Cos :
et on obtient : r = R ( Cos (.

La latitude d'un parallèle est un angle compris entre 0° et 90°; on ajoute
une indication de sens pour dire si le parallèle est entre l'équateur et le
pôle Nord, ou bien entre l'équateur et le pôle Sud.
On dira donc d'un point qu'il a une latitude de 42°N ou de 38°S, par
exemple.

Coordonnées géographiques :

Pour repérer un point sur la Terre, on le situe à la fois sur un méridien
et sur un parallèle.

Chaque méridien est repéré par rapport à un méridien de référence : le
méridien de Greenwich

Si M est le point d'un méridien situé sur l'équateur, et G le point du
méridien de Greenwich situé sur l'équateur, l'angle GOM est la longitude du
méridien passant par le point M.







La longitude d'un méridien est un angle compris entre 0° et 180°; on ajoute
une indication de sens pour dire si le méridien est à l'Est ou à l'Ouest du
méridien de Greenwich.

On dira donc d'un point qu'il a une longitude de 42°E ou de 138°O, par
exemple.



Exercices
Exercice 1

Sachant que l'équateur terrestre mesure environ 40 000 km, calculer le
rayon de la Terre.

Exercice 2
Un bateau navigue le long d'un méridien de la latitude 12°S à