Bac maths S 2005 - Inde - Pondichéry

Bac S 2005 - Pondichéry - Inde Suites et restitution organisée de connaissances - Géométrie plane et
complexes - Géométrie dans l'espace -Probabilités et équations
différentielles. Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2005/bac_s_inde_2005.doc BACCALAUREAT GENERAL Session 2005
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7 ou 9
OBLIGATOIRE et SPECIALITE
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit
traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut
admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la
copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en
compte dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 4
pages numérotées de 1 à 4.
EXERCICE 1 (4 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction f, définie sur [1 ; +([ par
f(t)= [pic]
1. a. Justifier la continuité de f sur [1 ; +([.
b. Montrer que f est croissante sur [1 ; +([. 2. Restitution organisée de connaissances
On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.
Pour tout réel x0 de [1 ; +([, on note A(x0) l'aire du domaine délimité par
la courbe représentant f dans un repère orthogonal, l'axe des abscisses et
les droites d'équations x = 1 et x = x0.
On se propose de démontrer que la fonction ainsi définie sur [1 ; +([ est
une primitive de f .
a. Que vaut A(1) ?
b. Soit x0 un réel quelconque de [1 ; +([ et h un réel strictement positif.
Justifier l'encadrement suivant :
f (x0) ( [pic] ( f (x0 + h).
c. Lorsque x0 > 1, quel encadrement peut-on obtenir pour h< 0 et tel que x0
+h ( 1 ?
d. En déduire la dérivabilité en x0 de la fonction A ainsi que le nombre
dérivé en x0 de la fonction A.
e. Conclure.
[pic] EXERCICE 2 (5 points) Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, [pic],
[pic]).
On désigne par I le point d'affixe zI = 1, par A le point d'affixe zA = 1-
2i, par B le point d'affixe -2 + 2i et par (C) le cercle de diamètre [AB].
On fera une figure que l'on complètera avec les différents éléments
intervenant dans l'exercice. On prendra pour unité graphique 2 cm. 1. Déterminer le centre ? du cercle (C) et calculer son rayon.
2. Soit D le point d'affixe zD = [pic].
Écrire zD sous forme algébrique puis démontrer que D est un point du cercle
(C).
3. Sur le cercle (C ), on considère le point E, d'affixe zE, tel qu'une
mesure en radians de ([pic],[pic]) est [pic].
Préciser le module et un argument de zE + [pic].
En déduire que zE = [pic]+[pic]i. 4. Soit r l'application du plan P dans lui-même qui à tout point M d'affixe
z associe le point M' d'affixe z' tel que :
[pic] = [pic][pic].
a. Déterminer la nature de r et ses éléments caractéristiques.
b. Soit K le point d'affixe zK = 2.
Déterminer par le calcul l'image de K par r. Comment peut-on retrouver
géométriquement ce résultat ?
EXERCICE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct (O, [pic],
[pic])
.
On considère l'application f qui au point M d'affixe z fait correspondre le
point M0 d'affixe z0 tel que :
z' = [pic].
1. On note x et x'0, y et y'0' les parties réelles et les parties
imaginaires de z et z'0.
Démontre que x' = [pic],
y' = [pic].
2. a. Déterminer l'ensemble des points invariants par f.
b. Quelle est la nature de l'application f ?
3. Déterminer l'ensemble D des points M d'affixe z tels que z0 soit réel.
4. On cherche à déterminer les points de D dont les coordonnées sont
entières.
Donner une solution particulière (x0, y0) appartenant a Z2 de l'équation 4x
- 3y = 2.
Déterminer l'ensemble des solutions appartenant à Z2 de l'équation 4x - 3y
= 2.
5. On considère les points M d'affixe z = x + iy tels que x= 1 et y ( Z. Le
point M' = f(M) a pour affixe z'0.
Déterminer les entiers y tels que Re(z'0) et lm(z'0'') soient entiers (on
pourra utiliser les congruences modulo 5). EXERCICE 3 (4 points) Commun à tous les candidats L'espace E est rapporté à un repère orthonormal (O, [pic], [pic], [pic])
On considère les points A, B et C de coordonnées respectives (1; 0; 2), (1;
1; 4) et (-1 ; 1, 1).
1. a. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b. Soit [pic] le vecteur de coordonnées (3 ; 4;-2).
Vérifier que le vecteur n est orthogonal aux vecteurs [pic]et[pic].
En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 2. Soient P1 et P2 les plans d'équations respectives 2x + y+ 2z + 1= 0 et
x - 2y + 6z = 0.
Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont on
déterminera un système d'équations paramétriques.
La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou bien parallèles ? 3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentre G des
points A, B et C affectés des coefficients respectifs 1, 2 et t.
Justifier l'existence du point G pour tout réel positif t.
Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients respectifs
1 et 2. Déterminer les coordonnées du point I.
Exprimer le vecteur [pic] en fonction du vecteur [pic].
Montrer que l'ensemble des points G lorsque t décrit l'ensemble des nombres
réels positifs ou nuls est le segment [IC] privé du point C. Pour quelle
valeur de t, le milieu J du segment [IC] coïncide-t-il avec G ? EXERCICE 4 (6 points) Commun à tous les candidats |Pour tout entier naturel n, |. |On définit ainsi |[pic].|
|on pose un = | |une suite | |
1. Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l'équivalence suivante :
|un+1 ( 0, 95un si et |[pic] |( 1, |
|seulement si | |9. | |2. On considère la fonction f définie sur |[pic] |
|[1 ; +([ par f(x)= | | Étudier le sens de variation et la limite en +( de la fonction f.
Montrer qu'il existe dans l'intervalle [1 ; +([ un unique nombre réel ? tel
que f (?) =1, 9.
Déterminer l'entier naturel n0 tel que n0 -1 ( ? ( n0. |d. Montrer que, pour tout entier naturel n |[pic] |( 1, 9. |
|supérieur ou égal à 16, on a : | | | 3. a. Déterminer le sens de variation de la suite (un) à partir du rang 16.
b. Que peut-on en déduire pour la suite ? 4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier
naturel n supérieur ou égal à 16, l'encadrement :
0 ( un ( 0,95n - 16 u16.
|En déduire la limite |[pic]. |
|de la suite | | -----------------------
[pic]