Nombres complexes corrigés - Rosamaths

NOMBRES COMPLEXES I. Définition Corrigé Exercice 1 : Le tableau complété est le suivant : |Nombre |Partie |Partie |opposé de |conjugué |nombre |imaginaire|
|complexe z|réelle |imagi-nair|z |de z |réel : |pur : |
| |de z |e de z | | |oui/non |oui/non |
|[pic] |2 |[pic] |[pic] |[pic] |non |non |
|[pic] |[pic] |0 |6 |[pic] |oui |non |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |non |non |
|[pic] |0 |3 |[pic] |[pic] |non |oui |
|[pic] |[pic] |1 |[pic] |[pic] |non |non |
|[pic] |[pic] |0 |1 |[pic] |oui |non |
|[pic] |0 |[pic] |[pic] |[pic] |non |oui | Exercice 2 :
a) 2 est le nombre complexe de partie réelle 2 et de partie
imaginaire 0.
b) [pic] : la partie imaginaire de [pic] est 1.
c) [pic] : la partie réelle de [pic] est 0.
d) [pic] : la partie réelle de [pic]est 0.
e) [pic] : la partie réelle de [pic] est 0.
II. Représentation Corrigé Exercice 3 :
1) Le point A a pour coordonnées [pic], le point [pic], le point [pic] et le point [pic].
2) Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives : [pic],
[pic] et [pic]. Exercice 4 :
|a) [pic] |b) [pic] |c) [pic] |
|En posant [pic], |En posant [pic], |En posant [pic], les |
|[pic] équivaut à [pic]. |[pic] équivaut à [pic]. |conditions s'écrivent : |
|L'ensemble des points M |L'ensemble des points M |[pic]. |
|est |est |L'ensemble des points M |
|l'axe des abscisses. |la droite d'équation |est |
| |[pic]. |le segment [pic]. |
| | | |
III. Calculs Corrigé Exercice 5 :
[pic][pic][pic]
[pic]
[pic] Exercice 6 : Soit f la fonction définie sur ( par [pic].
[pic]
[pic]
[pic] Exercice 7 :
[pic]
donc le nombre complexe i est solution de l'équation [pic] Exercice 8 :
[pic] [pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] Exercice 9 : [pic].
[pic].
IV. Conjugués Corrigé Exercice 10 : a) [pic] ; [pic]=2 ; [pic] ; [pic], donc [pic] ; [pic] ; donc [pic] ; D'après les propriétés des conjugués, [pic] ; donc [pic]. b) Si on pose [pic], alors [pic]. Alors [pic]et [pic]. Or [pic] . Donc [pic] et : [pic]. Exercice 11 : Posons [pic]. Alors [pic]. a) z est un imaginaire pur, si et seulement si, [pic]. z s'écrit alors
[pic]. D'où [pic] et [pic]. b) z est un réel, si et seulement si, [pic]. z s'écrit alors [pic]. D'où
[pic] et [pic].
V. Équations Corrigé Exercice 12 :
1) [pic] donc [pic].
2) [pic] donc [pic].
3) [pic] donc [pic].
4) [pic] et [pic] donc [pic].
5) [pic] et [pic] donc [pic].
6) [pic]
et [pic] donc [pic].
7) [pic]
et [pic] donc [pic].
8) [pic]
et [pic] donc [pic]. Exercice 13 :
1) [pic] donc [pic].
2) [pic] [pic]
d'où [pic] donc [pic].
3) [pic] [pic]
d'où [pic] ou [pic] donc [pic].
4) Pour tout [pic], [pic].
[pic] d'où [pic] donc [pic]. Exercice 14 :
1) [pic]. L'équation a une solution : [pic]. 2) [pic]
[pic]
D'où : [pic] et [pic] . L'équation a une solution : [pic]. 3) [pic] (3) .
Posons [pic] et [pic]. L'équation (3) est équivalente à (3') : [pic].
[pic] est le nombre complexe nul, donc sa partie réelle et sa partie
imaginaire sont nulles. On résout donc le système : [pic] [pic] .
C'est un système impossible. L'équation (3) n'a pas de solution. 4) [pic] (4).
Posons [pic]. L'équation (4) est équivalente à (4') : [pic].
D'où [pic].
L'équation (4) a une solution : [pic] .
VI. Modules et distances Corrigé Exercice 15 :
[pic] ; [pic] ; [pic] ;
[pic] ; [pic] ; [pic] ;
[pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] ;
[pic] ; [pic]. Exercice 16 :
[pic] ; [pic] ; [pic].
OA=OB=OC. Donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Exercice 17 :
[pic]
[pic]
[pic]
[pic],
donc les points A, B et C sont sur le même cercle de centre F et de rayon
[pic]. Exercice 18 :
[pic] ;
[pic] ;
[pic] ;
[pic].
Les points A, B, C et D sont sur le cercle de centre K et de rayon 5. VII. Géométrie Corrigé Figures géométriques
Exercice 19 : Soient A, B et C les points d'affixes respectives [pic].
a) Notons [pic] l'affixe du vecteur [pic]. On a :
[pic] [pic] [pic]
b) [pic]
[pic]
[pic] c) Nature du triangle ABC :
On constate que [pic]. Le triangle ABC est donc isocèle en C.
D'autre part, [pic].
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC
est aussi rectangle en C. Exercice 20 : [pic]
Calculons les distances [pic].
[pic]
[pic]
[pic]
On constate que [pic] Le triangle ABC est donc isocèle en A.
D'autre part [pic].
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est aussi
rectangle en A. Exercice 21 D'après la figure, ABCD paraît être un parallélogramme. Il semblerait aussi
que tous ses côtés aient la même longueur (on peut s'en rendre compte en
comparant ces longueurs avec un compas).
Montrons d'abord que ABCD est un parallélogramme en montrant que [pic].
[pic] et [pic].
Les vecteurs [pic] et [pic] ont la même affixe. Ces vecteurs sont donc
égaux. ABCD est bien un parallélogramme. Montrons maintenant que [pic]
[pic]
[pic].
On a bien : [pic]
ABCD est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
ABCD est un losange. Exercice 22 : [pic]
a) Calculons les distances [pic].
[pic]
[pic].
[pic].
On remarque que [pic]. Le triangle ABC est isocèle en A.
D'autre part [pic].
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC
est aussi rectangle en A. b) Déterminons le point D pour que ABDC soit un parallélogramme.
Nous verrons après que ABDC sera alors en fait un carré.
Soit d l'affixe (inconnue pour l'instant) du point D.
La phrase « ABDC est un parallélogramme » se traduit
successivement par :
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
ABDC est un parallélogramme si et seulement si le point D a
pour coordonnées [pic]. Or nous avons montré que le triangle ABC est un triangle
rectangle en A.
Le parallélogramme ABDC a un angle droit (c'est donc un
rectangle) et deux côtés consécutifs de même longueur ; c'est un carré. ABDC est un donc un carré si et seulement si le point D a pour
coordonnées [pic].
Transformations Exercice 23 :
Soit [pic] l'affixe du point [pic]. On a [pic]
Donc [pic]. Exercice 24 :
a) Soit a l'affixe de A ; on a :[pic].
Soit [pic] l'affixe de l'image de A par f. On a [pic]
[pic]. Soit b l'affixe de B ; on a : [pic].
Soit [pic] l'affixe de l'image de B par f. On a
[pic].
[pic]. b) [pic] est invariant par f si et seulement si [pic].
[pic] équivaut à [pic]
[pic]
d'où [pic].
La transformation f admet un unique point invariant : le point
d'affixe [pic]. Exercice 25 :
[pic] est invariant par f si et seulement si [pic].
[pic] équivaut à [pic]
[pic] et [pic]
[pic] et [pic]
[pic] et [pic]
[pic] et [pic]. On pose [pic].
[pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] ou [pic] [pic] ou [pic]
L'équation [pic] n'a pas de solution réelle. La transformation f a donc deux points invariants : les points d'affixes
[pic] et [pic].
Ensembles de points Exercice 26 :
1) Le point A a pour coordonnées [pic],
le point [pic]
et le point [pic]. 2) Soit [pic]
a) [pic] équivaut à [pic], c'est à dire [pic].
L'ensemble des points M cherché est la médiatrice du segment
[pic].
b) [pic] équivaut à [pic], c'est à dire [pic].
L'ensemble des points M cherché est le cercle de centre B et
de rayon [pic] .
c) [pic] équivaut à [pic], c'est à dire [pic].
L'ensemble des points M cherché est le disque fermé (bord
compris) de centre C et de rayon 2. Exercice 27 :
a) Soit [pic] l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que [pic]
[pic]
On pose A le point d'affixe [pic] et B celui d'affixe[pic]
[pic] . L'ensemble [pic] est la médiatrice de [pic]
b) Soit [pic] l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que [pic]
[pic]
On pose C le point d'affixe [pic]
[pic] . L'ensemble [pic] est le cercle de centre C et de rayon 5.
c) Soit [pic] l'ensemble des points M du plan d'affixe z tels que [pic]
[pic]
L'ensemble [pic] est le cercle de centre O, l'origine du repère, et
de rayon 1. Exercice 28 :
Soit [p