Modèle mathématique.

SESSION 2008






BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL
CARROSSERIE

Options : CONSTRUCTION et RÉPARATION






| |
|E1 |
|Épreuve scientifique et technique |
|Sous-épreuve B1 |
|MATHÉMATIQUES ET SCIENCES PHYSIQUES |







Durée : 2 heures Coefficient : 2








Le matériel autorisé comprend toutes les calculatrices de poche y
compris les calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran
graphique à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne
soit pas fait usage d'imprimante (Réf. C n° 99 - 186 du 16 - 11 - 1999).





Ce sujet comporte 6 pages dont le formulaire et 1 annexe (à remettre avec
la copie).



MATHÉMATIQUES (15 points)

EXERCICE 1 : (10,5 points)


La « Peugeot 201 » est une voiture de collection datant de 1930.
Un collectionneur souhaite faire restaurer à l'identique la calandre de sa
Peugeot 201, c'est à dire la garniture placée devant le radiateur.


Pour cela on souhaite réaliser un gabarit de la calandre dont la forme
générale, dans le plan rapporté au repère orthogonal de la figure 1, est la
suivante :





Figure 1 :










Le but de cet exercice est de modéliser la forme de la calandre à l'aide
d'une fonction et de déterminer ses dimensions.


Dans tout l'exercice le plan est rapporté au repère orthogonal donné en
annexe page 5.
Les trois parties de l'exercice sont indépendantes les unes des autres.


La partie supérieure de la calandre correspond à l'arc [pic]);AB) (voir
figure 1).
L'équation de cet arc dans le repère orthogonal est :

[pic].



Partie 1 : détermination de la largeur xB de la calandre.

1. Sachant que les coordonnées du point B[pic] de la figure 1 vérifient
l'équation de l'arc [pic]);AB), montrer que : [pic].

2. Résoudre l'équation : [pic].

3. En déduire l'abscisse [pic] du point B et placer le point B dans le
repère de l'annexe page 5.

4. Calculer la largeur AB de la calandre.


Partie 2 : détermination de la hauteur de la calandre.

On étudie la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 40] par : [pic].

1. Calculer f ((x) où f ( désigne la dérivée de la fonction f.

2. Résoudre l'équation f ((x) = 0.

3. Étudier le signe de f ((x) sur l'intervalle [0 ; 40] et compléter, sur
l'annexe page 5, le tableau de variation de la fonction f.

4. Donner la valeur de x pour laquelle la fonction f admet un maximum et
préciser la valeur de ce maximum. En déduire les coordonnées du sommet S
de la calandre (voir figure 1).

5. Placer le point S dans le repère de l'annexe page 5. Quelle est alors la
hauteur maximale de la calandre ?


Partie 3 : tracé du gabarit de la calandre.

1. Compléter, sur l'annexe page 5, le tableau de valeurs de la fonction
f . Les résultats seront arrondis au dixième.

2. Sur l'annexe page 5, tracer la représentation graphique de la fonction
f correspondant à l'arc [pic]);AB) du gabarit de la calandre.



EXERCICE 2 : (4,5 points)


Un collectionneur a acheté, en 1990, une voiture « Peugeot 201 » pour un
montant de 1 500 E.
L'argus des collectionneurs lui indique que la valeur de cette voiture
augmente d'environ 200 E
par an.
On note u1 la valeur de la voiture au bout de 1 an, c'est-à-dire en
1991,
u2 la valeur de la voiture au bout de 2 ans, c'est-à-dire en 1992,
...
un la valeur de la voiture au bout de n ans, c'est-à-dire en l'an
1990 + n .

1. Calculer les valeurs de [pic], [pic] et [pic].

2. Justifier que la suite de terme général [pic] est une suite
arithmétique. Donner sa raison et son premier terme.

3. Exprimer [pic] en fonction de n.

4. En déduire, la valeur de ce véhicule en 2008.

5. Après combien d'années, ce collectionneur peut-il espérer la vendre
plus de 6 000 E ?
En déduire l'année correspondante.



SCIENCES PHYSIQUES (5 points)


EXERCICE 1 : (1,5 point)


L'association « 201-mobile », des collectionneurs de voitures « Peugeot
201 », souhaite faire imprimer des affiches en couleur à l'occasion d'un
rallye de voitures anciennes.
L'imprimeur dispose d'encres de couleurs jaune, cyan et magenta.









1. Donner les couleurs d'encre que l'imprimeur doit utiliser pour que le
nom « 201-mobile » apparaisse en bleu sur l'affiche.

2. Au centre de l'affiche on a représenté une voiture. Donner les couleurs
d'encre que l'imprimeur doit utiliser pour que :

a) les ailes de la voiture apparaissent en noir sur l'affiche.

b) le reste de la voiture apparaisse en rouge sur l'affiche.

3. Donner le nom de la synthèse correspondant au mélange de ces encres.



EXERCICE 2 : (3,5 points)


Le pare-choc de la « Peugeot 201 », à base de fer, est chromé (recouvert
d'une couche de chrome Cr).

Les couples redox en présence dans cette situation sont :
Fe2+/ Fe et Cr3+/ Cr .


1. Écrire les deux demi-équations relatives à ces couples.

2. Écrire et équilibrer l'équation de la réaction d'oxydoréduction faisant
intervenir ces deux couples.

3. Expliquer pourquoi le fer est protégé contre la corrosion par le chrome.

4. L'ajout d'un revêtement métallique permet de lutter contre la corrosion.
Citer deux autres méthodes de protection contre la corrosion des métaux.


ANNEXE
(À remettre avec la copie)

EXERCICE 1 : partie 2, question 3. Tableau de variation de la fonction f.


|x |0 |
| |...... 40 |
|Signe de f |0 |
|((x) | |
|Variations de| |
|f | |


EXERCICE 1 : partie 3, question 1. Tableau de valeurs de la fonction f.

|x |0 |
|f (x) | f ((x) |
|ax + b |a |
|x2 |2x |
|x3 |3x2 |
| |- |
|u(x) + v(x) |u'(x) + v'(x) |
|a u(x) |a u'(x) |
| | |
|Logarithme népérien|ln (an) = n ln a |
|: ln | |
|ln (ab) = ln a + ln| |
|b | |
|ln (a/b) = ln a - | |
|ln b | |
|Equation du second degré ax2+ bx + c |
|= 0 |
|( = b2 - 4ac |
|- Si ( ( 0, deux solutions réelles : |
|x1 = ;2a)) et x2 = ;2a)) |
|- Si ( = 0, une solution réelle |
|double : |
|x1 = x2 = |
|- Si ( < 0, aucune solution réelle |
|Si ( 0, ax2+ bx + c = a(x - x1)(x -|
|x2) |
| |
|Suites arithmétiques |
|Terme de rang 1 : u1 et raison r |
|Terme de rang n : un = u1 + (n -1)r |
|Somme des k premiers termes : |
|u1 + u2 + + uk = |
|Suites géométriques |
|Terme de rang 1 : u1 et raison q |
|Terme de rang n : un = u1qn-1 |
|Somme des k premiers termes : |
|u1 + u2 + + uk = u1 |
|Trigonométrie |
|sin (a + b) = sina cosb + sinb cosa |
|cos (a + b) = cosa cosb - sina sinb |
| |
|cos 2a = 2cos 2 a - 1 |
|= 1 - 2sin2a |
|sin 2a = 2 sina cosa |
|Statistiques |
|Effectif total N = ) |
|Moyenne );x) = x);N)) |
|Variance V = ( x - );x) )²);N)) = |
|x );N)) );x)² |
|Ecart type ( = |
|Relations métriques dans le triangle |
|rectangle |
| | |
| | |
|AB2 + AC2 = BC2| |
| | |
| | |
|sin = ; cos = ; tan = |
|Résolution de triangle |
|)) = )) = )) = 2R |
|R : rayon du cercle circonscrit |
|a² = b² + c² - 2bc cos |
|Aires dans le plan |
|Triangle : bc sin |
|Trapèze : ( B +b)h |
|Disque : (R2 |
|Aires et volumes dans l'espace |
|Cylindre de révolution ou prisme droit|
|d'aire |
|de base B et de hauteur h : Volume Bh |
| |
|Sphère de rayon R : |
|Aire : 4(R2 Volume : (R3 |
|Cône de révolution ou pyramide de base|
|B et |
|de hauteur h : Volume Bh |
|Calcul vectoriel dans le plan - dans |
|l'espace |
|\d\ba3());v).\d|\d\ba3());v).\d\ba3()|
|\ba3());v() = |);v() = xx( + yy( + |
|xx( + yy( |zz( |
|\d\ba3());v) = |\d\ba3());v) = |
|Si \d\ba3());v) \d\ba3());0) et |
|\d\ba3());v() \d\ba3());0) : |
|\d\ba3());v).\d\ba3());v() = |
|\d\ba3());v)(\d\ba3());v( |
|)cos(\d\ba3());v),\d\ba3());v() ) |
|\d\ba3());v).\d\ba3());v() = 0 si et |
|seulement si \d\ba3());v) |
|\d\ba3());v()