EXERCICES RESOLUS - Exercices corriges

EXERCICES RESOLUS


Exercice n°1

Déterminer la grandeur de la force F, agissant au point A, nécessaire pour
maintenir la vanne carrée AB dans sa position fermée. La vanne est fixée
en B par une rotule.
Le liquide considéré est de l'eau ([pic] = 10 kN/m3)
On ne tiendra pas compte du poids de la vanne.


[pic]

Solution

L'équation fondamentale de l'hydrostatique nous permet de déduire :
pB - pA = ? g Z

= [pic] Z, dans le cas de l'eau.

En connaissant la valeur de la pression en un point, on peut donc en
déduire les pressions en tout point dans le fluide.

En A, à la surface "dite" libre règne la pression atmosphérique.
Cette pression vaut 0 si l'on travaille en pression effective.
Dès lors,
pA = po + [pic] ZA
pB = po + [pic]ZB

Or
ZA = 5 - 2 - 2 cos 45° = 1,586m
ZB = 5 - 2= 3 m
po = 0
Donc
pA = 1,586104 N/m²
pB = 3 104 N/m²

La distribution des pressions sur la vanne AB est linéaire entre A et B
(cf. l'équation fondamentale de l'hydrostatique).
On obtient ainsi un diagramme de pressions élémentaires trapézoïdal, tracé
perpendiculairement à la surface de la vanne ( les pressions élémentaires
s'exercent toujours perpendiculairement à l'élément de surface sur lequel
elle s'appliquent).
[pic]

Pour déterminer l'effort F à appliquer en A pour réaliser l'équilibre de la
vanne, il suffit d'écrire l'équilibre des moments par rapport au point B
(on élimine ainsi la réaction en B).

Pour plus de facilité, on remplace d'abord le diagramme des pressions
élémentaires par sa résultante R, appliquée en C.

[pic] où "l" est la largeur de la vanne AB

[pic]
fournit le point d'application de la résultante par rapport à la grande
base du trapèze (c.-à-d. B).

NB. : ceci correspond à déterminer le centre de gravité du trapèze.

Numériquement, on trouve : R = 45858 N.

D = 0,897 m.

L'équilibre des moments par rapport à B donne :
R. ? - F . ?AB? = 0
D'où [pic] c-à-d 20,572 kN

Exercice n°2

La cloison AB séparant les deux réservoirs, représentés sur la figure 11
est fixée en A.
Sa largeur est de 1,2 m.
Le manomètre indique -1,5 N/cm² (pression effective).

On demande de déterminer la force horizontale à appliquer en B pour que la
cloison soit en équilibre.

On donne :
[pic]
[pic]
ha = 4,50 m
he = 1,50m
hh = 2 m
[pic]

Solution

Pour trouver l'effort à appliquer en B pour que la cloison AB soit en
équilibre, il faut tout d'abord déterminer les diagrammes de pression
agissant sur la cloison, de part et d'autre de celle-ci.
Les pressions seront perpendiculaires à la cloison verticale c.-à-d.
horizontales.

A droite de la cloison, se trouve de l'huile à l'air libre.

Le diagramme des pressions effectives élémentaires est donc triangulaire.

[pic]


P1 = PA + dhuile Z1

Or PA = 0 (pression atmosphérique)
[pic]

D'où P1 = 15.10³ N/m²

A gauche de la cloison, on connaît la pression régnant dans l'air.

Celle-ci vaut :
P2 = - 1,5 N/cm² (pression effective (ou relative)) c-à-d P2 = -
15.103³ N/m²

A partir de celle-ci, on peut déterminer les pressions en tout point des
liquides se trouvant à gauche de la cloison par la relation fondamentale de
l'hydrostatique.

[pic]

[pic]
[pic]
[pic]

Il reste à calculer l'équilibre des moments par rapport à A de toutes les
pressions élémentaires s'appliquant à la cloison, et de l'effort F inconnu.

De nouveau, on remplacera d'abord les diagrammes de pressions par des
résultantes et leur point d'application par rapport à A.

- à droite :
- [pic]
- [pic]


- à gauche :
[pic][pic]
[pic]


=0,259 m

[pic]
[pic]
L'équation des moments par rapport à A s'écrit :

F ?AB? + Rhuile .?huile = Ralcool ?alcool + Reau . ?eau

On en déduit que
F = 23,2347 kN, dirigée de la droite vers la gauche.


Exercice n°3

Un flotteur prismatique de poids P et de superficie S flotte dans un
liquide de poids ?1. L'enfoncement du flotteur vaut z.
On ajoute un liquide non-miscible de poids spécifique d2.

Déterminer le nouvel enfoncement y en fonction de z.


[pic]

Solution :

Au premier stade, le flotteur est en équilibre dans le liquide de poids
volumique d1.

On peut donc écrire l'équilibre des forces verticales en présence ; à
savoir le poids P du flotteur, et la poussée d'Archimède qu'il subit.

Dès lors P = A = ?1 . S . Z
(1)

Au second stade, le flotteur "flotte entre 2 eaux" et est en équilibre
stable à la position précisée dans l'énoncé.

L'équilibre des forces verticales nous donne :

P = A = A1 + A2 = d2 . S (a - y) + d1 S y
(2)

La poussée d'Archimède est composée de 2 termes, un pour chaque liquide.

En éliminant P entre (1) et (2), on obtient : [pic]


On constate que le nouvel enfoncement "y" n'est pas fonction de la hauteur
H de liquide "2" rajouté !
Ceci provient de la forme de l'équation fondamentale de l'hydrostatique!

En effet, toute différence de pression n'est due qu'à une différence de
niveau entre les points considérés.

Remarque : le même résultat peut être obtenu en explicitant les diagrammes
de pressions élémentaires agissant sur le flotteur, et en écrivant
l'équilibre vertical des résultantes hydrostatiques et du poids.

On obtient :
[pic]

L'équilibre horizontal est réalisé par symétrie.
L'équilibre vertical conduit à :

P + d2 (H - (a - y))S = (d2 H + d1y ) S

On peut donc constater que la poussée d'Archimède correspond bien à une
résultante des composantes verticales de pression.


Exercice n° 4


La vanne d'un déversoir d'un barrage mobile a les dimensions suivantes :
- largeur : 2,5 m
- hauteur (mesurée verticalement) : "a" m
Elle est inclinée de 30° sur la verticale.
Elle est en outre mobile autour d'un axe horizontal situé en A à une
distance x(m) de l'extrémité supérieure de la vanne.

On demande :

1. de calculer la valeur à donner à x pour que le déversoir bascule quand
le niveau de l'eau dépasse la crête de h(m),quel est à ce moment l'effort
sur l'axe ?

2. de calculer l'effort E quand x = 1,5 m.

Données numériques :
a = 2,75 m
h = 1,50 m

[pic]
Solution

La vanne constituée d'un plan est articulée autour de l'axe de rotation
situé en A, et s'appuie sur la butée E.
En se plaçant dans la peau du concepteur, il s'agit ici de déterminer la
position de cet axe pour que la vanne bascule quand le niveau d'eau arrive
à la cote (h + a).

Déterminons le diagramme des pressions élémentaires.

[pic]


[pic]

[pic]

La résultante totale vaut :

[pic]
[pic]
et son point d'application est situé par rapport à E à :
[pic]

Pour que le déversoir bascule, il suffit que le point d'application de la
résultante soit situé au-dessus de l'axe de rotation, c-à-d.:

[pic]

Donc, il faudra

[pic]


x >1,840 m

L'effort en E quand x = 1,50 m (c.-à-d. que la vanne ne bascule pas) se
trouve par équilibre de la vanne.
Equation des moments par rapport à A :
R ([pic]- d) = RE. [pic].


> [pic]




Exercice n°5


Un ascenseur hydraulique est constitué de 2 sas mobiles parallèles
identiques de section S, supportés en leur centre par des pistons plongeurs
de section W pénétrant dans des cylindres de presses remplis d'eau
glycérinée ((eau glyc. = (eau = 1000 kg/m³).

Les 2 sas contiennent la même quantité d'eau de poids Q et des bateaux de
section s dont les poids sont respectivement P1 et P2.

1.-A l'équilibre, quelle serait la distance Y entre les extrémités
inférieures des pistons ?

2.- Toujours à l'équilibre, quelle serait la différence de niveau Z entre
les deux plans d'eau ?

[pic]
Solution

A l'équilibre, il n'y a plus d'écoulement, donc à un même niveau, les
pressions seront égales.

Donc : PA = PB

Or si l'on pose : R = le poids du piston,
on obtient pour le piston de gauche : [pic]

et de même pour le piston de droite:[pic]
PA = PB, d'où :
[pic]

Pour déterminer la différence de niveau entre ces plans d'eau, il faut
tenir compte du fait que les sas étant de section de même ordre de grandeur
que les bateaux, le volume occupé par les bateaux modifie de manière non
négligeable la hauteur d'eau dans le sas.
(cfr le niveau d'eau dans votre baignoire quand vous entrez dans votre
bain).

Deux raisonnements sont possibles.

1/Quand le bateau flotte, il y a équilibre entre la poussée d'Archimède et
son poids.
[pic]

[pic]

La surélévation "x" du niveau d'eau dans le sas, correspond au volume d'eau
occupé par le bateau :
(S - s) x = s a


[pic]

Donc la variation de niveau entre les deux sas vaudra :
[pic]

Dès lors, la différence de niveau entre les plans d'eau sera donnée par :

[pic]

(la section des bateaux n'intervient pas).


2/ Pour déterminer ?x, le raisonnement suivant conduit au même résultat.

[pic]

La quanti