Pyramides

Prismes 1 Prisme à base un triangle rectangle 1 Pavés droits 1
Le pavé droit 1
Le cube 2 Pyramides 3 pyramide dans pavé droit 3
Activité pyramide à base rectangulaire, d'arêtes égales. Calques et
résultats. 4 à base carrée 6*6*1,6 6
pyramide régulière à base carrée 7
4,2*4,2*2,8 2° version 7 Cône 8
Prismes
Prisme à base un triangle rectangle II
[pic]
On considère le prisme droit ABCDEF dont la base est un triangle ABC
rectangle en A, et dont la hauteur est [AD].
[pic], [pic] et [pic].
1° Placer la légende sur le dessin. Calculer la longueur BC.
2° Quelle est la nature du quadrilatère BCFE ?
Dessiner BCFE en grandeur réelle.
Calculer la longueur de la diagonale [CE]. CORRIGE
Le triangle ABC rectangle en A, d'après l'énoncé de Pythagore :
[pic]
2° Le quadrilatère BCFE est une face latérale du prisme, donc BCFE est un
rectangle, donc le triangle CBE est rectangle en B.
ABED est un rectangle donc [pic].
Le triangle CBE est rectangle en B, d'après l'énoncé de Pythagore :
[pic]
Pavés droits
Le pavé droit [pic]
Le pavé droit (ou parallélépipède rectangle) ABCDEFGH a pour dimensions :
[pic]
1° Dessiner la face ABCD.
Calculer la longueur de la diagonale BD.
2° Dessiner le quadrilatère BDHF.
Calculer la longueur de la diagonale BH.
Calculer à 0.1° près l'angle [pic]
CORRIGE
1° la face ABCD est rectangle. (Dessiner ce rectangle).
Le triangle ABD est donc rectangle en A, d'après l'énoncé de Pythagore :
[pic] 2° Les arêtes BF et DH du pavé droit sont perpendiculaires aux faces ABCD
et EFGH donc aux droites BD et FH de ces faces. Le quadrilatère BDHF a donc
quatre angles droits, BDHF est un rectangle de côtés [pic] et [pic]
(dessiner ce rectangle, on peut obtenir la longueur BD sans calcul sur le
carré ABCD)
donc le triangle BDH est rectangle en D, d'après l'énoncé de Pythagore :
[pic]
Le triangle BDH est rectangle en D, par définition:
[pic]
Le cube [pic]
Le cube ABCDEFGH a pour arête 5cm.
1° Dessiner la face ABCD.
Calculer la longueur de la diagonale BD.
2° Dessiner le quadrilatère BDHF.
Calculer la longueur de la diagonale BH.
Calculer à 0.1° près l'angle [pic]
CORRIGE
1° la face ABCD est un carré de côté 5cm. (Dessiner ce carré).
Le triangle ABD est donc rectangle en A, d'après l'énoncé de Pythagore:
[pic]
2° Les arêtes BF et DH du cube sont perpendiculaires aux faces ABCD et EFGH
donc aux droites BD et FH de ces faces. Le quadrilatère BDHF a donc quatre
angles droits, BDHF est un rectangle de côtés BF=5cm et [pic]
(dessiner ce rectangle, on peut obtenir la longueur BD sans calcul sur le
carré ABCD)
donc le triangle BDH est rectangle en D, d'après l'énoncé de Pythagore:
[pic]
Le triangle BDH est rectangle en D, par définition:
[pic] Pyramides
pyramide dans pavé droit On ne demande pas de reproduire la figure.
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. [pic]
1.
Placer la légende sur le dessin.
Dessiner les faces AFED et AFGB.
Calculer les longueurs FD et FB.
En déduire la nature du triangle BDF. 2. a) On considère que la pyramide FABD a pour base le triangle ABD. Quelle
est alors la hauteur de la pyramide?
Calculer l'aire de la base ABD.
Calculer le volume de la pyramide FABD. b) Dessiner le triangle ABD, compléter le patron de la pyramide.
CORRIGE
1.
Les faces du parallélépipède rectangle sont des rectangles,
donc ADEF est un rectangle,
donc le triangle AFD est rectangle en A.
D'après l'énoncé de Pythagore:
[pic]
Le rectangle ABCD a les mêmes dimensions que le rectangle AFGB donc [pic].
Le triangle BFD est donc isocèle en F.
2.
a) La droite (AF) est perpendiculaire aux droites (AB) et (AD)
donc (AF) est perpendiculaire à la base ABD, donc (AF) est la hauteur.
aire de ABD :
[pic]
Volume de la pyramide FABD:
[pic]
b)
(utiliser le compas pour placer le point F)
[pic]
Activité pyramide à base rectangulaire, d'arêtes égales. Calques et
résultats. Pour réaliser cette activité, on pourra se contenter d'une rédaction
abrégée de certains calculs en les faisant figurer à côté des figures
correspondantes.
On donnera la valeur exacte des longueurs et aires, puis une valeur
arrondie à 0,01 près. La pyramide SABCD a pour base le rectangle ABCD de côtés AB=7cm et BC=4cm,
de centre le point H.
La hauteur SH de la pyramide mesure 5cm.
K est le milieu de [BC] et L est le milieu de [AB].
1°
Dessiner la base ABCD, placer les points H, K et L, calculer HL, HK et HB.
Dessiner une vue en perspective cavalière de la pyramide.
Calculer son volume.
2°
Dessiner le triangle SHB, calculer SB, dire pourquoi [pic][pic], dessiner
le développement de la pyramide SABCD.
3°
Dessiner les triangles SHK et SHL, calculer SK et SL.
Calculer l'aire de la pyramide SABCD.
4°
Calculer à 0,01° près les angles [pic], [pic], [pic], [pic] et [pic].
CORRIGE format paysage, 4 colonnes
1°
HL et HK sont les demi médianes du rectangle ABCD, elles sont donc égales à
la moitié des côtés parallèles : [pic] [pic].
Le triangle HKB est rectangle en K, d'après l'énoncé de Pythagore :
[pic]
Volume de SABCD :
[pic]
2°
La hauteur SH est perpendiculaire à la base ABCD, donc SHB est rectangle en
H. On connaît HB et HS
Le triangle SHB est rectangle en H, d'après l'énoncé de Pythagore :
[pic]
Les triangles SHA, SHB, SHC et SHD sont rectangles en H et les côtés de
l'angle droit ont respectivement la même longueur, donc leurs hypoténuses
ont la même longueur, donc [pic]
Compléter au compas ouvert à la longueur SB les quatre faces latérales en
forme de triangle isocèle.
3°
SHK et SHL sont rectangles en H. Dessiner les triangles au dimensions
calculées.
Le triangle SHK est rectangle en H.
D'après l'énoncé de Pythagore :
[pic]
Le triangle SHL est rectangle en H.
D'après l'énoncé de Pythagore :
[pic]
Aire de la pyramide :
[pic]
4°
Le triangle HKS est rectangle en H. Par définition :
[pic]
à la calculatrice : [pic]
Le triangle HLS est rectangle en H. Par définition :
[pic]
à la calculatrice : [pic]
Dans le triangle BSC isocèle en S, la médiane SK est également hauteur et
bissectrice.
Le triangle KSB est rectangle en H. Par définition :
[pic]
à la calculatrice : [pic]
[pic]
Dans le triangle ASB isocèle en S, la médiane SL est également hauteur et
bissectrice.
Le triangle HKS est rectangle en H. Par définition :
[pic]
à la calculatrice : [pic]
[pic][pic]
Le triangle HSC est rectangle en H, par définition :
[pic]
à la calculatrice : [pic] I Soit la pyramide ABCD décrite: [pic], les angles [pic], [pic] et [pic]
sont droits; on nomme H le milieu de BC.
[pic] 1° La face ABC est choisie comme base, montrer que AD est la hauteur de
cette pyramide.
Calculer le volume de cette pyramide.
Déterminer l'angle [pic] 2° a)Construire un développement de cette pyramide.
b) Dessiner le triangle ADH.
c) Démontrer que [pic]. Quelle est la nature du triangle AHB ?
Calculer BH et AH.
d) En utilisant le triangle ADH, calculer DH, l'aire du triangle BCD et
l'aire de la pyramide.
Calculer une valeur approchée de l'angle [pic]à 0,01° près. 3°
On considère que la pyramide ABCD a pour sommet A et pour base la face BCD.
En utilisant le volume de la pyramide calculé en 1° et l'aire du triangle
BCD, calculer la hauteur AK (K étant le point d'intersection de la hauteur
avec la base BCD).
Si la face BCD est choisie comme base, la pyramide ABCD est-elle
régulière ? (expliquer).
Placer le point K dans le triangle ADH. Que représente le point K pour le
triangle BCD?
CORRIGE
I
1° AD est perpendiculaire aux droites (AB) et (AC) du plan de base ABC,
donc AD est perpendiculaire à ce plan, donc AD est la hauteur de la
pyramide.
Volume ABCD =
[pic]
Le triangle ABD est rectangle isocèle en A, donc [pic].
2° a) Utiliser le compas pour tracer la face BDC.
b) Triangle ADH: [pic]est droit, [pic], reporter au compas la longueur AH
prise sur le développement, (aucun calcul n'est nécessaire).
c) D'après le théorème de la médiane, la médiane AH du triangle ABC
rectangle en A est égale à la moitié de l'hypoténuse AH, donc [pic]. ABC
est isocèle en A, donc la médiane AH est également hauteur, le triangle ABH
est rectangle isocèle en H
ABH est rectangle en A :
d'après le théorème de Pythagore:
[pic]
d) Le triangle ADH est rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore:
[pic]
[pic]
Les triangles ABD, ABC et ACD sont rectangles isocèles d'aire[pic].
Aire de la pyramide:
[pic]
ADH est rectangle en A:
[pic]
à la calculatrice: [pic]
3°
[pic]
La base BCD est un polygone régulier (triangle équilatéral), et les arêtes
latérales AB, AC et AD ont la même longueur, donc la pyramide ABCD de
sommet A est régulière.
A l'équerre, placer le point K sur DH dans le triangle ADH (AK[pic]DH)
La pyramide ABCD est régulière, donc K est au centre de gravité du triangle
ABC. à base carrée 6*6*1,6 IV
[pic]
SABCD est une pyramide régulière (donc les arêtes SA, SB, SC et SD ont la
même longueur)
Sa base est le carré ABCD de côté 6cm. H est le point d'intersection des
diagonales AC et BD.
SH est la hauteur de cette pyramide et [pic].
M est le milieu du segment [BC].
1° Calculer le volume de cette pyramide. 2° Pour dessiner le développement de la pyramide SABCD :
a) Au centre d'une feuille, dessiner le carré ABCD, placer les points M et
H.
En étudiant le triangle BHC, expliquer pourquoi [pic]. b) Dire pourquoi SHM est un triangle rectangle. Dessiner le triangle SHM
Quelle est la nature de la face SBC ?
Sur le développement commencé en a), dessiner la face SBC et les autres
faces de la pyramide SABCD. 3° Dans le triangle SHM, Calculer SM. Calculer l'angle [pic] à 0,1° près. Calculer l'aire du triangle SBC
CORRIGE
IV
I Placer la légende sur le dessin de l'énoncé .
1°
[pic]
2°
a) Les diagonales [AC] et [BD] du carré ABCD sont perpendiculaires, donc le
triangle BHC est rectangle en H. M est le milieu de [BC] donc [HM] est une
médiane du triangle BHC.
La médiane BM du triangle BHC rectangle en M est égale à la moitié de
l'hypoténuse BC : [pic]
b) La hauteur SH de la pyramide est perpendiculaire à la base ABCD, donc à
toute droite du plan ABCD passant par H. Donc (SH)((MH).
Des