DEVOIR DE MATHEMATIQUES n°2

|DEVOIR DE MATHEMATIQUES n°2 |Année 2003/2004 |Date : |
|Nom Prénom :|Classe : T.ES |Durée : 1h |
|Acquis : |
|Série Statistique double : nuages de points, point moyen, ajustement affine |
|Somme et composition de fonctions |
|Variation de fonctions et de fonctions composées |
|Position d'une courbe par rapport à une droite |
|Note : |Appréciation : |
| | |
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Exercice 1
Le tableau suivant, publié en août 1999 dans une revue économique, donne la
part du temps partiel au sein de la population active (les valeurs pour
2000 et 2004 sont le résultat d'une estimation). |Année xi |1980 |1985 |1990 |1995 |1997 |2000 |2004 |
|Pa|8,3 |
|rt| |
|du| |
|te| |
|mp| |
|s | |
|pa| |
|rt| |
|ie| |
|l | |
|en| |
|% | |
|: | |
|yi| |
|u | | |
| | | |
| | | |
. v est la fonction racine, elles est croissante sur [pic]+
Lorsqu'on compose une fonction avec une fonction croissante on ne change
pas les variations d'où le tableau de variation suivant :
|x |-( 1 |
| |+( |
|vou | | |
| | | |
| | | | 2. Chaque représentation graphique ci dessous est celle d'une fonction u.
Pour chaque cas donner le tableau de variation de u et en déduire celui de
.
a. b. |x |0 | |x |-3 ( 0 |
| |5 | | |1 3 |
|u | | |u | | |
| | | | | | |
| | | | | | | Comme u est croissante et strictement positive La fonction
inverse est décroissante sur [pic]*,
sur [0 ;5] et que la fonction inverse est décrois- donc, en la
composant elle change les
-sante sur [pic]+alors 1/u est décroissante sur [0 ;5] variations.
Ainsi :
Sur [-3 ; 0[ \ {(} , 1/u est
croissante
Sur ]0 ; 1[, 1/u est
croissante
Sur [1 ; 3], 1/u est
décroissante |x |0 | |x |-3 ( 0 |
| |5 | | |1 3 |
|1/u | | |1/u| | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
Exercice 3 1. a) Démontrons que pour tout réel de ]1 ; + ( [, f(x) = x + 1 +
x + 1 + = = = = f(x)
b) Sens de variation de f sur ]1 ; + ( [
f(x) = x + 1 + = u(x) + v(x) avec u(x) = x + 1 et v(x) = , u et v sont
définies sur ]1 ; + ( [.
. u est une fonction affine de coefficient directeur 1 donc u est
croissante sur ]1 ; + ( [
. V a les mêmes variations que la fonction car Cv est la translation de
C de vecteur ),i). Donc v est croissante sur [pic]\ {1} et à fortiori
sur ]1 ; + ( [.
. Ainsi f est la somme de deux fonctions croissantes sur ]1 ; + ( [,
donc c'est une fonction croissante sur ]1;+ ( [.
1. a. Etude du signe de f (x) - x-1
f(x) - x-1 =
|x |1 |
| |+ ( |
|x-1 | + |
| | - |
b. Interprétation graphique du résultat
Comme f(x) - x -1 < 0 sur ]1 ; + ( [ alors Cf est au dessous de D sur
]1 ; + ( [
2. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de Cf avec l'axe
des abscisses.
Il faut résoudre l'équation = 0 , comme x différent de 0 , cela revient
à résoudre x2 - 4 = 0
( ( x + 2) ( x - 2 ) = 0 ( x = -2 ou x = 2. Or -2 ( Df, donc il y a un
seul point d'intersection
I ( 2 ; 0)
3. Tracer D et Cf. -----------------------
[pic] 5 0 [pic][pic] 0 3 -3 ( 1 Cf. D G
>0 u v 1 1 0 [pic] [pic]