Translations et vecteurs - Maths et tiques

TRANSLATION ET VECTEURS



Activités de groupe : La Translation (Partie1) :
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr1.pdf


La Translation (Partie2) :
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr2.pdf

Activité conseillée Activité conseillée
|p150 activité1 : Attention, | |p148 activité1 : Attention, |
|ça glisse ! | |ça glisse ! |


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2014



I. Translation

Exemple :


B
80m Une translation est un
glissement :
A - avec une
direction donnée :
câble du téléphérique, la droite (AB),
- avec un sens donné :
le téléphérique monte de A vers B,
- avec une longueur donnée :
80m, longueur AB


On dit que :
Le téléphérique T' est l'image du téléphérique T par la translation qui
transforme A en B.

Définition : Soit P et P' deux points distincts du plan.
On appelle translation qui envoie P sur P' la transformation dont
l'image F' d'une figure F est obtenue en faisant glisser la figure F :
- selon la direction de la droite (PP'),
- dans le sens de P vers P',
- d'une longueur égale à PP'.















Méthode : Construire l'image d'une figure par une translation


[pic] Vidéo https://youtu.be/8Jb9cMOeYSk


Soit t la translation qui transforme A en A'.
Construire l'image B'C'D'E' du trapèze BCDE par la translation t.


[pic]




Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|p171 n°1 à 3 |p171 n°4 | |p166 n°1 à 4 |p166 n°5 |


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II. Vecteurs

1. Définition :

Définition : Soit t la translation qui envoie A sur A', B sur B' et C
sur C'.
Les couples de points (A ; A'), (B ; B') et (C ; C') définissent un
vecteur caractérisé par :
- une direction : celle de la droite (AA'),
- un sens : de A vers A',
- une longueur : la longueur AA'.




On note [pic] ce vecteur et on écrit : [pic] =[pic].
On dit que [pic] est un représentant de [pic].
[pic] et [pic] sont également des représentants de [pic].

Remarque :


La longueur d'un vecteur est aussi appelée la norme du vecteur.



« vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter)
Le mot a été introduit en 1925 et la notation [pic] en 1920.
A l'origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803-
1880) qui les désignait comme segments équipollents.


Activités de groupe :
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Act_vect.pdf

TP info : Bonhommes et dromadaires :
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/bonhom.pdf
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/droma.pdf


2. Egalité de vecteurs

Définition :
Les vecteurs [pic] et [pic] sont égaux lorsqu'ils ont même direction,
même sens et même longueur.


On note [pic] = [pic].


Exemple :
Ci-dessous, on peut poser : [pic] = [pic] = [pic].
[pic] et [pic] sont des représentants du vecteur [pic].








Propriété du parallélogramme :
Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts.
Dire que les vecteurs [pic] et [pic] sont égaux revient à dire que le
quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.











Démonstration :
- Si [pic] = [pic], la translation de vecteur [pic] transforme le point
C en D. Les segments [AB] et [CD] ont donc même longueur et même
direction.
Le quadrilatère non croisé ABDC est donc un parallélogramme
éventuellement aplati.
- Réciproquement : Les côtés opposés d'un parallélogramme sont
parallèles et de même longueur donc les vecteurs [pic] et [pic],
dé?nis à l'aide des segments [AB] et [CD] d'un parallélogramme ABDC,
sont égaux.

Méthode : Construire un point défini à partir de vecteurs


[pic] Vidéo https://youtu.be/zcQPz4dfnn0


A partir du parallélogramme ABCD, construire les points E, F, G et H
tels que :
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
[pic] = [pic]
























Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|-p171 n°5, 6 |Ex 3 (page15) | |-p166 n°5 |Ex 3 (page15) |
|Ex 1 et 2 | | |Ex 1 et 2 | |
|(page15) | | |(page15) | |
|-p177 n°77 | | |-p170 n°58 | |
|Ex 4 à 6 | | |Ex 4 à 6 | |
|(page15) | | |(page15) | |


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Propriété du milieu :
Dire que B est le milieu du segment [AC] revient à dire
que [pic] et [pic] sont égaux.


3. Vecteur nul

Définition :
Un vecteur [pic] est nul lorsque les points A et B sont confondus.

On note : [pic]=[pic].

Remarque :
Pour tout point M, on a : [pic] = [pic].


4. Vecteurs opposés

Il ne faut pas confondre sens et direction !
Une droite définit une direction, ci-dessous la direction de la droite
(AB).
Cependant une direction possède deux sens, ici de « A vers B » ou de
« B vers A ».






Définition :
Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même
longueur et qu'ils sont de sens contraire.


[pic] et [pic] sont des vecteurs opposés.
On note [pic] = - [pic]



Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|p172 n°8 et 9|p178 n°87 | |p173 n°67, 68 |p176 n°108 |
| | | |p176 n°111* | |
|p171 n°7 | | | | |
|p178 n°90 | | | | |


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III. Somme de vecteurs

1. Définition

Exemple :

Soit t1 la translation de vecteur [pic]
et t2 est la translation de vecteur [pic].


Appliquer la translation t1 puis la translation t2 :
t1 t2
M M1 M2
revient à appliquer la translation t de vecteur [pic] :
t
M M2

Propriété :
La composée (ou l'enchaînement) de deux translations est une
translation.

Définition :
[pic]et [pic] sont deux vecteurs quelconques.
On appelle somme des vecteurs [pic] et [pic], notée [pic]+[pic], le
vecteur [pic] associé à la translation composée des translations de
vecteurs [pic] et [pic].


2. Une relation fondamentale

La relation de Chasles :
Pour tous points A, B et C du plan, on a : [pic] = [pic] +
[pic].


















Remarque :
Dans le triangle ABC, on a également les relations : [pic] = [pic]
+ [pic]
[pic] = [pic] + [pic].




Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n'est pas de lui, mais
nommée ainsi en
hommage à ses travaux sur les vecteurs.
Homme naïf, on raconte qu'il fut ruiné en achetant de fausses lettres
(Jeanne d'arc à
sa mère, Vercingétorix à César,...) !



Méthode : Appliquer la relation de Chasles


[pic] Vidéo https://youtu.be/fbVrdYiY0qc


Simplifier les écritures :
a) [pic] + [pic] b) [pic]+ [pic] c)
[pic]+ [pic] + [pic]
d) [pic] + [pic] e) [pic] + [pic] + [pic] f)
[pic]- [pic] + [pic]


a) [pic] + [pic] b) [pic] + [pic] c) [pic]
+ [pic] + [pic]
= [pic] = [pic] + [pic] =
[pic] + [pic] + [pic]
= [pic]
= [pic] + [pic]

= [pic] + [pic] = [pic]


d) [pic] + [pic] e) [pic]+ [pic] + [pic] f) [pic] -
[pic] + [pic]
= [pic] = [pic] + [pic] + [pic] = [pic]
+ [pic] + [pic]
= [pic] = [pic] + [pic]
= [pic] + [pic]
= [pic]= [pic]
= [pic] = [pic]




Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|Ex 7 à 9 |p172 n°20 | |p167 n°18, 19,|p167 n°20 |
|(page15 et | | |21 | |
|16) | | |p173 n°77 | |
|p172 n°21 | | |p174 n°79, 80 | |


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TP conseillé TP conseillé
|TP Tice2 p163 : Démontrer | |p162 TP5 : Démontrer avec |
|avec les vecteurs | |les vecteurs |
|TP Tice3 p163 : Somme nulle | |p163 TP6 : Somme nulle |


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3. Conséquence :

Propriété caractéristique du parallélogramme :
Dire que ABCD est un parallélogramme revient à dire que [pic] = [pic] +
[pic],










Démonstration :
D'après la relation de Chasles, l'égalité [pic] = [pic] + [pic] peu