Exercice 1 : loi des grands nombres

TD3 : Convergence de variables aléatoires


Exercice 1 : Estimateurs empiriques
Soient [pic] des v.a. i.i.d. d'espérance m et de variance[pic]. On pose
[pic]et [pic].
1) Calculer les espérances de [pic]et [pic].
2) Etudier la convergence en probabilité de ces deux suites.
3) Montrer que [pic] converge en loi et donner sa limite.





Exercice 2 : Théorème central limite

On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant deux boules
blanches et quatre boules bleues. A chaque tirage i=1,...n, on associe la
v.a. Xi valant 1 si la boule tirée est blanche, 0 sinon.
1- Etudier la convergence en probabilité de la suite [pic].
2- En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer le nombre
de tirages nécessaires [pic] pour que [pic]
3- En utilisant le théorème central limite, déterminer une autre valeur
[pic] répondant à la question précédente et comparer.



Exercice 3 : Variable de Poisson de grand paramètre


On dispose d'un échantillon [pic]i.i.d. issu d'une loi de poisson de
paramètre ?. Soit
[pic]
.
1) Etudier la convergence en moyenne et presque sûre de la suite[pic].

2) Montrer que [pic] converge en loi et préciser sa limite.

3) Exprimer [pic] pour [pic].

4) En déduire que [pic]

Rq : Si X et Y sont deux variables aléatoires de loi de Poisson de
paramètres a et b, X+Y suit une loi de Poisson de paramètre a+b.


Exercice 4 : Convergence de la suite des minimums


Soit [pic] une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi [pic]. On
définit la v.a. [pic].
1- Donner la loi de [pic].
2- Montrer que [pic] converge en probabilité vers [pic].
3- Montrer que [pic] converge en loi vers une v.a. Z dont on donnera la
loi.


Exercice 5 : Convergence en loi d'une variable hypergéométrique

Soit [pic] une suite de variables aléatoires de loi ?(N,n,p). Montrer que
lorsque N tend vers l'infini, [pic] converge en loi vers une variable de
loi Binomiale ?(n,p).


Exercice 6 : Convergence en loi et convergence en probabilités
On tire un nombre au hasard entre 0 et 1. On définit sur l'espace
probabilisé [pic] les variables aléatoires [pic] et [pic].
1- Calculer les lois et les fonctions de répartitions de ces variables.
2- Montrer que [pic] converge en loi vers [pic]lorsque n tend vers
l'infini.
3- Calculer la probabilité [pic]. En prenant un exemple précis de [pic],
montrer que [pic] ne converge pas en probabilité vers [pic].


Exercice 7 : Variations sur la loi normale

Soient [pic] i.i.d. issus d'une loi de densité
[pic]
1) Calculer [pic].
2) Etudier la convergence presque sûre de [pic].
3) Etudier la convergence en probabilité de [pic].