Etudes de fonctions - Maths et tiques

[pic] FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE




Définition



Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur ? par [pic], où a,
b et c sont des nombres réels donnés et a ( 0.


Exemples :
- [pic]. On a : a = 5, b = -4 et c = 9.
- [pic]. On a : a = -1, b = 4 et c = 0.
- La fonction carré est une fonction polynôme particulière telle
que :
a = 1, b = 0 et c = 0.
- [pic].
En effet : [pic].
On a : a = 3, b = -5 et c = -2.

On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à
l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'une parabole.




























« Jesus dit à ses disciples y2 = 2px. Ils ne comprirent pas, c'était une
parabole. » Citation apocryphe
Le mot vient du grec « parabolê » qui signifiait l'action de jeter à côté :
« para » pour à côté et « bolein » pour jeter.





Variations


Propriétés :
Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que[pic].
- Si a est positif, f est d'abord décroissante, puis croissante.
- Si a est négatif, f est d'abord croissante, puis décroissante.


a > 0 a < 0
[pic] [pic]


[pic]


Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|Ex 1 à 3 |Tableaux de | |Ex 1 à 3 |Tableaux de |
|(page5) |var. de | |(page5) |var. de |
|p117 n°1, 3 |fonctions du | |p134 n°1 à 3 |fonctions du |
|p120 n°31 |second degré | |p136 n°32 |second degré |
|Ex 4 à 11 |données. | |Ex 4 à 11 |données. |
|(page5 et 6) | | |(page5 et 6) | |
|p117 n°12, | | |p138 n°42, 44,| |
|14, 13* ; | | |43* | |
|p118 n°18* | | |p138 n°48* | |
|p121 n°40* | | |p140 n°63* | |


ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER
Edition 2014

Extremum



La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de
symétrie parallèle à l'axe des ordonnées.


Définition :
Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est
appelé le sommet de la parabole.

Exemple :
La fonction f définie sur ? par [pic] admet un maximum.
En effet, le coefficient devant x2 est négatif, f est d'abord
croissante, puis décroissante.

Propriété :
Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que[pic].
Alors f admet un extremum pour [pic].


Méthode : Déterminer les coordonnées de l'extremum d'une fonction
polynôme de degré 2


[pic] Vidéo https://youtu.be/KgsQI1ksdbA


Soit la fonction f définie sur ? par [pic].
a) Quelle est la nature de l'extremum de la fonction f ?
b) Déterminer les coordonnées de cet extremum.
c) Construire le tableau de variations de f, puis vérifier en traçant sa
courbe représentative à l'aide de la calculatrice.




a) Le coefficient devant x2 est positif, f admet donc un minimum.
b) Le minimum est atteint en [pic]
Or [pic] donc f admet un minimum égal à 5 pour [pic]. Les coordonnées du
minimum sont (3 ; 5).


c)




















On pourra tracer la parabole
à l'aide d'une calculatrice
graphique pour vérifier.




















Exercices conseillés En devoir Exercices
conseillés En devoir
|Ex 12 à 18 |Ex 19 et 20 | |Ex 12 à 18 |Ex 19 et 20 |
|(page6) |(page6) | |(page6) |(page6) |
|p117 n°5* | | |p136 n°33 | |
| | | |p138 n°39* | |


ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition
2014
TP conseillé TP conseillé
|TP Tice1 p110 : Différentes | |p129 TP1 : Différentes |
|paraboles | |paraboles |


ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition
2014



























Exercice 1
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions du second
degré ?
[pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic]
Exercice 2
Justifier que chacune des fonctions suivantes est une fonction du second
degré :
[pic] [pic]
[pic] [pic]

Exercice 3
A l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère chaque fonction de
l'exercice 2.

Exercice 4
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont d'abord croissantes puis
décroissantes ?
[pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic]

Exercice 5
Soit f la fonction définie sur ? par [pic].
1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation
graphique de la fonction f.
2) En déduire le tableau de variations de f.

Exercice 6
Soit f la fonction définie sur ? par [pic].
1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation
graphique de la fonction f.
2) En déduire le tableau de variations de f.

Exercice 7
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations
correspondent au tableau de variations ci-contre :
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]

Exercice 8
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations
correspondent au tableau de variations suivant :
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]

Exercice 9
Soit f la fonction définie sur ? par [pic].
1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation
graphique de la fonction f.
2) Conjecturer le nombre de solutions de l'équation [pic] et une valeur
approchée des solutions éventuelles.







Exercice 10
Soit f la fonction définie sur ? par [pic].
1) À l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère la représentation
graphique de la fonction f.
2) Conjecturer le nombre de solutions de l'équation [pic] et une valeur
approchée des solutions éventuelles.

Exercice 11
Conjecturer le nombre de solutions de l'équation [pic] et une valeur
approchée des solutions éventuelles.

Exercice 12
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un minimum ?
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]

Exercice 13
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un maximum ?
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]

Exercice 14
À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de l'extremum de
chaque fonction en précisant s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]

Exercice 15
À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de l'extremum de
chaque fonction en précisant s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
[pic] [pic] [pic]

Exercice 16
Soit f la fonction définie sur ? par [pic].
1) Quelle est la nature de l'extremum de f (minimum ou maximum) ?
Justifier.
2) Pour quelle valeur de x est-il atteint ? Calculer cet extremum.
3) Construire le tableau de variations de f, puis vérifier en traçant sa
courbe représentative à l'aide de la calculatrice.
4) Reproduire la courbe dans un repère.

Exercice 17
Même exercice avec la fonction f définie sur ? par [pic].

Exercice 18
Même exercice avec la fonction f définie sur ? par [pic].

Exercice 19
Même exercice avec la fonction f définie sur ? par [pic].

Exercice 20
Même exercice avec la fonction f définie sur ? par [pic].





-----------------------





Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que
celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle,
ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.
www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales












































Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que
celles prévues à l'article L 122-5 du code de la propriété intellectuelle,
ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.
www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales