Corrigé exercice cuboctaèdre
Corrigé. 1°). a) Comme le volume d'une pyramide est donné par la formule (où A
est l'aire de base et h la hauteur) et, comme la hauteur du tétraèdre IJK ...
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Corrigé
[pic]
1°)
a) Comme le volume d'une pyramide est donné par la formule [pic] (où A est
l'aire de base et h la hauteur) et, comme la hauteur du tétraèdre IJK
associée à la face IFK est le segment [FJ] (car la droite (FJ) est
orthogonale au plan IFK), on en déduit que :
[pic]
Donc [pic]
b) Si a = 4 cm alors [pic]
c)
I est le milieu de [EF] et J est le milieu de [FG].
D'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que (IJ) est
parallèle à la droite (EG).
De plus [pic].
Par ailleurs [pic] (Démonstration : d'après le théorème de Pythagore,[pic].
On en déduit que [pic].
On démontre de même que [pic] et [pic].
Le triangle IJK est donc un triangle équilatéral dont les côtés ont pour
longueur [pic].
Le triangle IJK a donc une aire égale à : [pic]
(Explications : un triangle équilatéral dont les côtés ont pour longueur c
a des hauteurs de longueur [pic] et donc une aire égale à [pic] soit [pic])
Comme le volume d'une pyramide est donné par la formule [pic] (où A est
l'aire de base et h la hauteur) et, comme la hauteur du tétraèdre IJK
associée à la face IJK est le segment [FL], on en déduit que :
[pic].
Donc : [pic]
Donc : [pic]
d) Si a = 4 cm, alors [pic]
2°)
a) La surface du cuboctaèdre se compose de six carrés dont les côtés ont
une longueur égale à IK (soit [pic]) et de huit triangles équilatéraux
identiques au triangle IJK.
D'où :
[pic]
b) Si a = 4 cm alors [pic]
c) Le volume du cuboctaèdre est égal au volume du cube diminué des volumes
des huit tétraèdres.
Donc :
[pic]
d) Si a = 4 cm alors [pic]
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D. Pernoux http://pernoux.perso.orange.fr
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Pour une page avec applet java concernant le cuboctaèdre, voir ICI