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Intérêts composés
Aller à : Navigation, Rechercher Un capital est placé à intérêts composés lorsque les intérêts de chaque
période sont incorporés au capital pour l'augmenter progressivement et
porter intérêt à leur tour. 1) Calcul [modifier] Pour calculer des intérêts composés, il suffit d'utiliser une suite
géométrique, dont la formule est : Valeur finale (Vf) = Valeur initiale (Vi) x ( 1 + taux )années
Par exemple, en plaçant 10 euros à un taux de 2% par an pendant 5 ans, on
obtient : 10 x (1+ 2/100)5=11,04 Dh
Après 10 ans, le total sera de 12,19 Dh ; après 1 siècle, de 72,45 Dh !
Au bout de n années, un emprunteur doit :
Vi (1+i)n, valeur finale « acquise » par le capital. 2) Valeur finale [modifier]
[pic] Cette formule donne la valeur future Vf d'un investissement Vi avec un
accroissement à un taux d'intérêt de i% pendant n périodes. 3) Valeur initiale [modifier]
[pic] Cette formule donne la valeur initiale Vi (ou valeur présente) nécessaire
pour obtenir une certaine valeur future Vf si le taux d'intérêt de i% est
capitalisé pendant n périodes. 4) Taux d'intérêt [modifier]
[pic] Cette formule donne le taux d'intérêt composé i% obtenu si un
investissement initial Vi donne une valeur finale Vf après n périodes
d'accroissement.
Exercices
Exercice 1 Calculer la valeur acquise par un capital de 5 430Dh placés à 9%
pendant 3 ans et 4 mois sachant que :
a) la capitalisation n'est qu'annuelle
b) la capitalisation est continue Exercice 2 Calculer le capital dont la valeur acquise au bout de 4 ans est égale
à 8 000Dh sachant que la capitalisation est semestrielle et que le taux
d'intérêt semestriel est égal à 4,5% Exercice 3 Combien faudra-t-il de temps pour qu'un capital de 123 234 345 567 456
675 678,26Dh placé à 13% quadruple ? Exercice 4 Un capital de 10 000,00Dh est placé pendant 9 ans et 9 mois aux
conditions suivantes :
- 12% les cinq premières années; - 14% les sept semestres suivants; - 9% le reste du temps.
T.A.F
Calculer la valeur acquise par ce capital en fin de placement. Exercice 5 Un capital de 230 000,00Dh a une valeur acquise égale à 340 000, 00Dh
au terme de 4 ans et 4 mois. A quel taux était placé ce capital ? Exercice 6 Calculer les taux suivant : a) taux mensuel proportionnel au taux annuel 12%
b) taux mensuel équivalent au taux annuel 12%
c) taux semestriel équivalent au taux mensuel 2%
d) taux mensuel équivalent au taux semestriel 6% Exercice 7 Calculer le capital dont la valeur acquise au bout de 3 ans est égale
à 5000,00Dh, sachant que la capitalisation est semestrielle et que le taux
d'intérêt est égal à 9% Exercice 8 Un capital de C Dh est placé au taux i pendant n années.
Sachant que :
- les intérêts produits au cours de la deuxième année de
placement s'élèvent à 17 280,00Dh;
- les intérêts produits au cours de la troisième année de
placement s'élèvent à 18 662,40Dh;
- le total des intérêts produits au cours des n années de
placement s'élèvent à 142 764,85Dh;
T.A.F
calculer C, n et i Exercice 9 Comparez sur 5 ans les quatre modes de placement suivants :
- Livret A de la Caisse d'Epargne : intérêts
calculés à 4,5% capitalisables annuellement et éxonérés d'impôts;
- Livret B de la Caisse d'Epargne : intérêts
calculés à 4,5% capitalisables annuellement et subissant un impôt
libératoire de 40%;
- Bons d'Epargne : intérêts calculés à 8% suivant la
procédure des intérêts simples et subissant un impôt libératoire à 40%;
- Bons d'Epargne : intérêts calculés à 8% suivant la
procédure des intérêts simples précomptés sur 3 ans et subissant un impôt
libératoire à 40%; Exercice 10 Vous devez régler 5 000,00Dh à Monsieur EREISOP dans 8 mois et
9 500,00Dh toujours à Monsieur EREISOP dans 2 ans. Vous transigez et
Monsieur EREISOP accepte que vous lui versiez 8 000,00Dh dans un an et le
solde dans deux ans. Le taux d'estimation étant égal à 10%, calculez le
montant du solde Exercice 11 Monsieur EREISOP vous offre la possibilité de placer 15 400Dh
pour 4 ans et 6 mois à un taux annuel de 10,5% payable deux fois par an.
Monsieur PAPY vous offre, lui, la possibilité de placer vos 15 400Dh pour
la même durée mais à un taux annuel payable trimestriellement. Quel est le
taux annuel payable trimestriellement que doit vous proposer monsieur PAPY
pour que ces deux possibilités soient équivalentes ?
Corrigé des exercices relatifs aux intérêts composées
Exercice 1
Calculer la valeur acquise par un capital de 5 430E placés à 9%
pendant 3 ans et 4 mois sachant que :
a) la capitalisation n'est qu'annuelle
Si la capitalisation n'est qu'annuelle, il nous faut travailler en
intérêts composés sur les trois premières années et en intérêts simples sur
les quatre derniers mois.
La valeur acquise par ce capital au bout de trois ans est égale à 5 430
(1,09)3=7 032,01
[pic]
Ce capital a donc acquis, dans ces conditions, une valeur de 7
242,97E au bout de 3 ans et 4 mois.
b) la capitalisation est continue
Si la capitalisation est continue, la valeur acquise par ce capital
au bout de 3 ans est 4 mois est égale à :
[pic]
Soit 7 236,94E
Exercice 2
Calculer le capital dont la valeur acquise au bout de 4 ans est égale
à 8 000E sachant que la capitalisation est semestrielle et que le taux
d'intérêt semestriel est égal à 4,5%
Le taux étant semestriel, le capital X cherché est solution de
l'équation : X (1,045)8 = 8000 soit X = 8000 (1,045)-8
Ce capital est donc égal à 5 625,48E
Exercice 3
Combien faudra-t-il de temps pour qu'un capital de 123 234 345 567
456 675 678,26E placé à 13% quadruple ?
Désignons par X le montant du capital cherché et par n (en années) la
durée du placement.
Nous devons avoir X (1,13)n = 4X soit 1,13n = 4
d'où ln(1,13n) = n ln(1,13) = ln(4)
Nous obtenons ainsi n = 11,34
Le capital donné quadruplera donc au bout d'environ 11 ans et 4 mois
(+ 3 jours !)
Exercice 4
Un capital de 10 000,00E est placé pendant 9 ans et 9 mois aux
conditions suivantes :
- 12% les cinq premières années;
- 14% les sept semestres suivants;
- 9% le reste du temps.
Calculer la valeur acquise par ce capital en fin de placement.
Les taux donnés sont annuels (aucune précision)
A la fin des 5 premières années le capital de 10 000E a acquis une
valeur de 10 000 (1,12)5 = 17 623,42
A la fin des 7 semestres suivants, il aura acquis une valeur de 10
000 (1,12)5 (1,14)3,5 = 17 623,42 (1,14)3,5 = 27 877,71. (Remarquons
que 7 semestres correspondent à une durée de 3,5 années) .
Il reste alors 1 an et 3 mois de placement sot 1,25 an de placement.
A la fin du placement, ce capital a donc acquis une valeur de 10 000
(1,12)5 (1,14)3,5 (1,09)1,25 = 27 877,71 (1,09)1,25 = 31 048,47E
Exercice 5
Un capital de 230 000,00E a une valeur acquise égale à 340 000, 00E
au terme de 4 ans et 4 mois. A quel taux était placé ce capital ?
Désignons par i le taux d'intérêt cherché.
[pic]
Le taux de placement de ce capital est donc égal à 9,44%
Exercice 6
Calculer les taux suivant :
a) taux mensuel proportionnel au taux annuel 12%
Comme dans une année, il y a 12 mois, pour passer du taux annuel au
taux mensuel proportionnel, il suffit de diviser ce taux annuel par 12
Le taux mensuel proportionnel au taux annuel 12% est donc égal à 1%
b) taux mensuel équivalent au taux annuel 12%
Nous pouvons remarquer que si nous capitalisons un capital
mensuellement à 1% mensuel, nous devons lui appliquer un coefficient
multiplicateur égal à 1,0112 (soit 1,12682). Ce taux mensuel de 1% n'est
donc pas équivalent au taux annuel 12% (coefficient multiplicateur 1,12)
Le taux mensuel i12 équivalent à 12% annuel est donc tel que (1 +
i12)12 = 1,12
Ce taux mensuel équivalent à 12% annuel est donc égal à 0,00949 =
0,949%
Remarquons que si nous multiplions ce taux mensuel équivalent par 12,
nous trouvons 11,39% (inférieur à 12%). Ce dernier taux est appelé taux
annuel payable mensuellement (en général, ce taux est désigné par j12)
c) taux semestriel équivalent au taux mensuel 2%
Pour arriver à un semestre, il faut effectuer 6 capitalisation
mensuelle.
En désignant par i2 le taux semestriel, ce taux doit être solution de
l'équation (1,02)6 = (1 +i2)
Le taux semestriel équivalent à 2% mensuel est donc égal à 0,12616
= 12,62%
d) taux mensuel équivalent au taux semestriel 6%
En utilisant la même remarque que ci-dessus et en désignant le taux
mensuel équivalent par i12, ce taux doit être solution de l'équation (1 +
i12)6 = 1,06
Le taux mensuel équivalent au taux semestriel 6% est donc égal à
0,00976 = 0,98%
Exercice 7
Calculer le capital dont la valeur acquise au bout de 3 ans est égale
à 5 000,00E, sachant que la capitalisation est semestrielle et que le taux
d'intérêt est égal à 9%
Le taux d'intérêt donné est un taux annuel (aucune précision) et 3
ans correspondent à un nombre entier de semestre.
En désignant par X le capital cherché, ce capital es